連立方程式の解法は…「文字を減らす」方針?その2

下の記事を見直してたらちょっと気になったので一言.「文字を減らす」という方針について以前の記事に追加です.

\[\begin{align*}
&\begin{cases}
f(s,~t)=0\\
s=g(x,y)\\
t=h(x,y)
\end{cases}
\Longleftrightarrow
\begin{cases}
f(g(x,y),~h(x,y))=0\\
s=g(x,y)\\
t=h(x,y)
\end{cases}
\end{align*}
\]

です.

(理由)
\(\Rightarrow\)は第1式の\(s\)と\(t\)に第2,3式により\(s=g(x,y),~t=h(x,y)\)をそれぞれ代入すれば得られます.
\(\Leftarrow\)はは第1式の\(g(x,y)\)と\(h(x,y)\)を第2,3式により\(g(x,y)=s,~h(x,y)=t\)とおき直せば得られます.(ちなみにこれは,もし第2,3式\(g(x,y)=s,~h(x,y)=t\)がなければ逆が成り立たない,すなわち
\[
\begin{cases}
f(s,~t)=0\\
s=g(x,y)\\
t=h(x,y)
\end{cases}
\Longrightarrow
f(g(x,y),~h(x,y))=0\\
\]
であることを意味します.)

…(同値性という観点から言えば)文字は別に減らしてなんかいないことに注意.

しかしもし,
\[
\exists s \exists t\begin{cases}
f(s,~t)=0\\
s=g(x,y)\\
t=h(x,y)
\end{cases}
\]
なら,存在記号を処理することで,

\[\exists s \exists t\begin{cases}
f(s,~t)=0\\
s=g(x,y)\\
t=h(x,y)
\end{cases}
\Longleftrightarrow
f(g(x,y),~h(x,y))=0
\]

となります.見た目通り,文字\(s,t\)は消えます