減衰曲線

減衰曲線\[y=e^{-x}\sin x\]


この曲線を減衰曲線といいます。入試でよく見られるのはこれに絶対値をとったもの,すなわち\[|y|=|e^{-x}\sin x|=e^{-x}|\sin x|\]です.これを\(f(x)\)とおき,その性質について見てみます.

\(f(x):=e^{-x}|\sin x|\)とする.\(f(x+\pi)\)について調べる.
\begin{align*}
f(x+\pi)&=e^{-(x+\pi)}|\sin (x+\pi)|\\
&=e^{-\pi}e^{-x}|\sin x|\\
&=e^{-\pi}f(x)
\end{align*}
これは翻訳すればいわば「現在地点より\(\pi\)だけ先の関数の値は,現在の関数の値を\(e^{-\pi}\)倍したもの」ということです.

これを減衰曲線の性質としてまとめておきます.

減衰曲線の性質\(f(x):=e^{-x}|\sin x|\)とおくと,\[f(x+\pi)=e^{-\pi}f(x)\tag{1}\]が成り立つ.

このことから,\(y=f(x)~((k-1)\pi \leq x \leq k\pi,k\in \mathbb{N})\)と\(x\)軸で囲まれる部分の面積を\(S(k)\)とおくことにすれば,となりの山に対して縦に\(e^{-\pi}\)だけ縮むわけですから,

\[S(k+1)=e^{-\pi}S(k)\tag{2}\]

が言えることが分かります.

これは,山の面積の間には等比数列の関係があることを意味します.※直観的に明らかですが,念のため計算して確かめておくと,
\begin{align*}
S(k+1)&=\displaystyle \int_{k\pi}^{(k+1)\pi}f(x)dx=\displaystyle \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} e^{-x}|\sin x|dx\\
&=\displaystyle \int_{(k-1)\pi}^{k\pi} e^{-(x+\pi)}|\sin(x+\pi)| dx\\
&=\displaystyle e^{-\pi}\int_{(k-1)\pi}^{k\pi} e^{-x}|\sin x| dx\\
&=\displaystyle e^{-\pi}\int_{(k-1)\pi}^{k\pi} f(x) dx\\
&=\displaystyle e^{-\pi}S(k)\\
\end{align*}となり確かに成り立ちます.

さて,以上の準備のもとに次の問題を考えてみましょう.

次の極限を求めよ.\[\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}\int_0^{n\pi}e^{-x}|\sin x| dx\]

【解答】
\(\displaystyle \int_0^{n\pi}e^{-x}|\sin x| dx\)は下図の曲線と\(x\)軸で囲まれる部分の面積である.

\(f(x)=e^{-x}|\sin x|\)そして\(~y=f(x)~((k-1)\pi \leq x \leq k\pi,~k = 1,2,\cdots, n)\)と\(x\)軸で囲まれる部分の面積を\(S(k)\)とおくと,\[\displaystyle \int_0^{n\pi}e^{-x}|\sin x| dx= \sum_{k=1}^n S(k)\]となる.\((2)\)により,各山の面積は初項\(S(1)\),公比\(e^{-\pi}\)の等比数列であるから,これはさらに\[\displaystyle \frac{S(1)(1-e^{-n\pi})}{1-e^{-\pi}}\]とかける.\(S(1)\)を求める.
\begin{align*}
\displaystyle S(1)&=\int_{0}^{\pi}f(x)dx\\
&=\int_{0}^{\pi} e^{-x}|\sin x| dx\\
&=\int_{0}^{\pi}e^{-x}\sin x dx\\
&=\left[\frac{-1}{2}\left(e^{-x}\sin x+e^{-x}\cos x\right)\right]_0^\pi\\
&=-\frac{1}{2}(-e^{-\pi}-1)\\
&=\frac{e^{-\pi}+1}{2}
\end{align*}したがって,求める極限は\[\frac{e^{-\pi}+1}{2}\frac{1-e^{-n\pi}}{1-e^{-\pi}}\xrightarrow{n\rightarrow \infty}\frac{e^{-\pi}+1}{2(1-e^{-\pi})}\]となる.【解答終】

\(f(x)=e^{-x}|\sin nx|\)などでも同様に「山の面積は等比数列」が成り立ちますので(調べてみましょう),多少状況が変化しても同様の方針で計算できます。