不定方程式

次の不定方程式の整数解を求めよ.\[(1)~7x-17y=1 \qquad (2)~52x+539y=19 \]

教科書と同じ解法はつまらないので,合同式を用いて解いてみます。

解答

\((1)\)
\[7x-17y\equiv1\pmod{7}\]
左辺に\(7(-x)\)を加えて(ア)
\[-17y\equiv1\pmod{7}\]
左辺に\(14y\)を加えて
\[-3y\equiv1\pmod{7}\]
両辺を\(2\)倍して(イ)
\[-6y\equiv2\pmod{7}\]
左辺に\(7y\)を加えて
\[y\equiv2\pmod{7}\]
よって\[y=7k+2~(k\in\mathbb{Z})\]
もとの式にこれを代入して
\[x=17k+5~(k\in\mathbb{Z})\]

\((2)\)
\[52x+539y\equiv19\pmod{52}\]
左辺に\(52(-x)\)を加えて
\[539y\equiv19\pmod{52}\]
左辺に\(52(-10y)\)を加えて
\[19y\equiv19\pmod{52}\]
\(19\)と\(52\)は互いに素であるから,両辺を\(19\)で割ることができて(ウ)
\[y\equiv1\pmod{52}\]
よって\[y=52k+1~(k\in\mathbb{Z})\]
もとの式にこれを代入して
\[x=-539k-10~(k\in\mathbb{Z})\]

解答終

このように合同式を利用すればゴチャゴチャ計算しなくとも簡潔に記述できます。
ただし(ア)(イ)(ウ)の操作は証明が必要です。

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