正多面体は，次の\(5\)種類しかないことが知られている。
正四面体 正六面体 正八面体 正十二面体 正二十面体（図省略）
数研出版 高等学校 数学A
まず正多面体の定義が
ような凸多面体であることに注意しておきます。
証明
正多面体のひとつの面を正\(m\)角形（\(m\geq 3\)），ひとつの頂点に集まる面の個数を\(n\)とする．\(n\leq 2\)とすると頂点を作らないから\(n\geq 3\)．
このとき正多面体のひとつの頂点に集まる角度の和は\[\frac{180(m-2)}{m}\times n\]で表される．これが\(360^{\circ}\)より小さいから（さもなければ平面になってしまい，頂点を作らない），
\begin{align*}
&\frac{180^{\circ}(m-2)}{m}\times n < 360^{\circ}\\
\Longleftrightarrow~&\frac{180^{\circ}(m-2)}{m}\times n < 360^{\circ}\\
\Longleftrightarrow~&mn-2m-2n < 0\\
\Longleftrightarrow~&(m-2)(n-2) < 4
\end{align*}これを満たす\((m,n)\)を調べると
- \(m=3\)のとき，\((3\leq)~n<6\)より\((m,n)=(3,3),(3,4),(3,5)\)
- \(m=4\)のとき，\((3\leq)~n<4\)より\((m,n)=(4,3)\)
- \(m=5\)のとき，\((3\leq)~n<\frac{10}{3}\)より\((m,n)=(5,3)\)
次に\(m,n\)と頂点\(v\)，辺\(e\)，面\(f\)の個数の関係を調べる．\(m\)は正多面体の\(1\)つの面の辺の個数，\(n\)は正多面体の\(1\)つの頂点に集まる辺の個数でもあることに注意すると，
\begin{align*}
e=\frac{mf}{2},\quad e=\frac{nv}{2}~\Longleftrightarrow~f=\frac{2e}{m},\quad v=\frac{2e}{n}
\end{align*}（\(\times \frac{1}{2}\)は重複の除去）となり，これをオイラーの多面体定理\(v-e+f=2\)に代入すると
\begin{align*}
v-e+f=2\Longleftrightarrow~&\frac{2e}{n}-e+\frac{2e}{m}=2\\
\Longleftrightarrow~&\frac{2m-nm+2n}{nm}e=2\\
\Longleftrightarrow~&e=\frac{2mn}{2m-mn+2n}
\end{align*}よって\[f=\frac{4n}{2m-mn+2n}\]
を得る．上で調べた\((m,n)=(3,3),(3,4),(3,5),(4,3),(5,3)\)を代入すると，それぞれ\[f=4,8,20,6,12\]となり，それぞれ正四面体，正八面体，正二十面体，正六面体，正十二面体となる．
証明終
（参考）
正十二面体
正二十面体