斜交座標系

\(\Delta ABC\)において,辺の中点を\(C\),辺\(OB\)を\(2:1\)に内分する点を\(D\)とし,線分\(AD\)と線分\(BC\)の交点を\(P\)とする.\(\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}\)とするとき,\(\overrightarrow{OP}\)を\(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\)を用いて表せ.

定期考査に必ず出題される定番中の定番の問題です。教科書のような例の解法のほかにも様々な解法が考えられますが,個人的には以下のように考えるのが好きです。

解答

\(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\)を基底とする斜交座標系を考える.その座標系における直線\(AD\)の方程式は\(x+\frac{3}{2}y=1\),直線\(BC\)の方程式は\(2x+y=1\)(下図参照).この2式を連立して\(x=\frac{1}{4},y=\frac{1}{2}\).したがって\[\overrightarrow{OP}=\frac{1}{4}\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{b}\]を得る.

解答終

高校2年生の問題が,中学1年生レベルの単純な連立方程式の問題に帰着します。直線は\(y=ax+b\)だけじゃなく\(\frac{x}{a_0}+\frac{y}{b_0}=1\)(切片型)と書けることは常識にしておきましょう。

この教科書の超基本問題はこのように面白い解法がいくつかあって,教科書の解法だけで終わらせるにはもったいない問題。ゆっくり立ち止まって色々と学んでおきたい問題です。もちろん教科書の解法も重要(※)です。

※ 重要なんだけど問題はその学び方。この解法を「\(s:1-s\)とおいて\(t:1-t\)とおいて~」みたいなこの問題「特有の」手順として学ぶひとが多い。そんな頭の解法ストックに+1するだけの理解(暗記?)だけではなく,これはベクトル方程式と絡めた視点(ベクトル方程式を立てているという認識)をも学ぶべき。そうすればこの一連の手続きは「解法」なんて仰々しいものじゃない,極めて自然でかつ汎用性のある(=模試レベルでも使える)知識になります。