★条件付き期待値2

\(E(Y|X\geq0)=E(E(Y|X\geq0))\)

証明?
\begin{align*}
E(E(Y|X\geq0))&=\int_{0}^{\infty}E(Y|X=x)f_{X|X\geq0}(x)dx\\
&=\int_{0}^{\infty}\left(\int_{-\infty}^{\infty}yf_{Y|X\geq0}(y|x)dy\right)f_{X|X\geq0}(x)dx\\
&=\int_{0}^{\infty}\left(\int_{-\infty}^{\infty}y\frac{f_{X|X\geq0,Y}(x,y)}{f_{X|X\geq0}(x)}dy\right)f_{X|X\geq0}(x)dx\\
&=\int_{0}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}yf_{X|X\geq0,Y}(x,y)dydx\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}ydy\int_{0}^{\infty}f_{X|X\geq0,Y}(x,y)dx\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}yf_{Y|X\geq0}(y|x)dy=E(Y|X\geq0)\\
\end{align*}

出典:統計数理,2015年,大問5(6)

不安な点:

  • \(f_{X|X\geq0}(x)\)や\(f_{Y|X\geq0}(y|x)\)や\(f_{X|X\geq0,Y}(x,y)\)という記法とその解釈は正しい?
  • \(X|X\geq0\)は\(X\geq0\)という表示ではダメ?(上の証明では混在させている)
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