数学Ⅰの「集合と論理」を学んだ高校生にぜひ考えてもらいたい問題。
\(|x-a| < \epsilon \Longleftrightarrow a-\epsilon < x < a+ \epsilon\)で，この不等式において\(\epsilon\)は任意の正数，つまり正の数なら何入れても成り立つとすれば\(x=a\)である，換言すれば「幅をどんだけ小さくしても，その間に\(x\)が入るというのなら，その\(x\)って\(a\)だよね？」といっています。感覚的には正しそう？
証明
示したいことは\[\forall \epsilon > 0 [|x-a| < \epsilon] \Longrightarrow x=a\]である．この命題を否定して\[\forall \epsilon > 0 [|x-a| < \epsilon] \land x \neq a\]と仮定する．このとき，\(|x-a| > 0\)であるから，\(0 < \epsilon^{\prime} < |x-a|\)を満たす\(\epsilon^{\prime}\)が存在する．\(\epsilon\)は任意だったので，この\(\epsilon^{\prime}\)をとることにする．すると，\(|x-a| < \epsilon^{\prime}<|x-a|\)より\(|x-a| < |x-a|\)となり矛盾する．したがって\[\forall \epsilon > 0 [|x-a| < \epsilon] \Longrightarrow x=a\]となる．
証明終
note:
\(\{a\}(\subset \mathbb{R})\)が閉集合であることの証明において，\(\{x|\forall \epsilon >0 [d(x,y) < \epsilon,y=a]\}=\{a\}\)を示す必要がありそこで使った。