上の\(2\)つの放物線と直線で囲まれる部分の面積\(S\)は，\[S = \frac{|a’-a|(\beta-\alpha)^3}{6}\]で表される．
証明
被積分関数\(g(x)-f(x)\)がどんな関数になるかを考える．これは，
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- \(2\)次式で，
- 次数が一番大きい項の係数は\(a’-a\)で，
- \(x=\alpha,x=\beta\)で交わる，すなわち\(g(x)-f(x)=0\)を解いて得られる\(2\)つの解が\(\alpha,\beta\)である
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ことに着目すると，\[g(x)-f(x) = (a’-a)(x-\alpha)(x-\beta)\]とかける．したがって求める部分の面積は
\begin{align*}
&\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} (a’-a)(x-\alpha)(x-\beta) dx \\
=~&\displaystyle (a-a’)\int_{\alpha}^{\beta} -(x-\alpha)(x-\beta) dx\\
=~&\frac{(a-a’)(\beta-\alpha)^3}{6}\tag{1}\\
=~&\frac{|a’-a|(\beta-\alpha)^3}{6}
\end{align*}証明終
\(|a’-a|\)はもちろん\(|a-a’|\)でもいいです．要は上下関係なく機械的に‘係数の差’の絶対値をとればいい，ということです．\((1)\)はここの公式によります．