合同式の応用

    1. \(10^{10}\)を\(2020\)で割った余りを求めよ。
    2. \(100\)桁の正の整数で各位の数の和が\(2\)となるもののうち,\(2020\)で割り切れるものの個数を求めよ。
  • (一橋大)

    解答

    \(2020\)を法として考える.以下,\(\mod 2020\)を省略して記述する.
    \(10000\equiv10000+2020\cdot(-5)\equiv-100\)であるから
    \begin{align*}
    10^{10}\equiv&10^2\cdot(10^4)^2\\
    \equiv &10^2\cdot(-100)^2\\
    \equiv &10^2\cdot10000\\
    \equiv &10^2\cdot(-100)\\
    \equiv &-10000\\
    \equiv &-(-100)\\
    \equiv &100
    \end{align*}

    ゆえに\(10^{10}\equiv100\)(\(1.\)の答え

    \(100\)桁の正の整数で各位の数の和が\(2\)であるような数は
    \begin{align*}
    \mathrm{(i)}\quad &2\underbrace{0\cdots0}_{99\text{個}}=2\times10^{99}\\
    \mathrm{(ii)}\quad &1\underbrace{0\cdots01\overbrace{0\cdots0}^{k\text{個}}}_{99\text{個}}=10^{99}+10^k\quad(0\leq k \leq 98)
    \end{align*}のいずれかである.

    \(\mathrm{(i)}\)のとき
    \(1.\)により\(10^{10}\equiv10^2\)であることに注意して,
    \begin{align*}
    2\times10^{99}\equiv&2\cdot10^{9}\cdot(10^{10})^9\\
    \equiv&2\cdot10^{9}\cdot(10^{2})^9\\
    \equiv&2\cdot 10^{27}\\
    \equiv&2\cdot(10^{10})^2\cdot10^7\\
    \equiv&2\cdot(10^{2})^2\cdot10^7\\
    \equiv&2\cdot10^{11}\\
    \equiv&2\cdot10^{10}\cdot10\\
    \equiv&2\cdot10^{2}\cdot10\\
    \equiv&2000\\
    \end{align*}ゆえにこの数は\(2020\)で割り切れない.

    \(\mathrm{(ii)}\)のとき
    \(10^{99}+10^{k}\equiv 1000 + 10^{k}\)より(なぜならば\(\mathrm{(i)}\)の途中過程により\(10^{99}\equiv1000\)),\(1000+10^k\equiv 0(\Leftrightarrow 10^{k}\equiv -1000)\)を満たす\(k~(0\leq k \leq 98)\)の個数を調べればよい.\(k\)の値は高々\(99\)個なので,実際に調べてみると(やる気),

     

    \(1,10\)から始まり,\(100,1000,-100,-1000\)と繰り返すことがわかる.したがって,\(99=2+4\times 24+1\)により求める個数は\(24\)個とわかる.(\(2.\)の答え

    解答終

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