2次の不定方程式（つづき1）

前回記事（上の問題）の1. \[2x^2+3xy-2y^2-3x+4y-5=0\]を因数分解せずに解くとどうなるかを見てみます。前と同様，
\begin{align*}
&2x^2+3xy-2y^2-3x+4y-5=0\\
\Longleftrightarrow~&x=\frac{-3(y-1)\pm \sqrt{25y^2-50y+49}}{4}
\end{align*}と変形し，ここから必要条件として\[25y^2-50y+49\geq 0\]が得られますが，しかしこれは何の旨味もないものです。なぜならこの式を満たす\(y\in \mathbb{Z}\)は無数にあり，\(y\)が絞れないからです。そこで必要条件として別のものをとり出してみます。

別解

\begin{align*}
&2x^2+3xy-2y^2-3x+4y-5=0\\
\Longleftrightarrow~&x=\frac{-3(y-1)\pm \sqrt{25y^2-50y+49}}{4}
\end{align*}\(x\)は整数であるから\[25y^2-50y+49=k^2\quad(k=0,1,2,\cdots)\]と表せることが必要．ここで
\begin{align*}
&25y^2-50y+49=k^2\\
\Longleftrightarrow~&25(y^2-2y+1-1)-k^2+49=0\\
\Longleftrightarrow~&25(y-1)^2-k^2=-24\\
\Longleftrightarrow~&(5(y-1)-k)(5(y-1)+k)=-24\\
\Longleftrightarrow~&(5y-k-5)(5y+k-5)=-24(=-2^3\times 3)
\end{align*}
また，\((5y-k-5)+(5y+k-5)=2(5y-3)(=\text{偶数})\)であることから\(5y-k-5\)と\(5y+k-5\)の偶奇は一致すること，そして\(5y-k-5<5y+k-5\)であることから，\((5y-k-5,5y+k-5)\)の組み合わせは\[(-2^1,2^2\cdot 3),(-2^2,2^1\cdot 3),(-2^1\cdot 3,2^2),(-2^2\cdot 3,2^1)\]の\(4\)通りであることが分かる．これより\(y=2,\frac{6}{5},\frac{4}{5},0\)が得られ，\(y\)は整数だから\(y=0,2\)で\(x=-1,1\)．したがって求める答えは\((x,y)=(-1,0),(1,2)\)である．

別解終

途中，必要条件なのに逆の考察をしていないのはやはり同値だからです。論理式で記述すると（つづく）