問題
\(\displaystyle \sum^n_{k=1}(ak+b)\)を計算せよ．ただし\(a,b\)は定数．
これを計算せよと言われたら次のように計算すると思います．
\[
\begin{align*}
\displaystyle \sum^n_{k=1}(ak+b)&=a\sum^n_{k=1}k+\sum^n_{k=1}b&\Sigma\text{の分配法則}\\
&=a\frac{1}{2}n(n+1)+bn&\Sigma\text{の公式}\\
&=\frac{a}{2}n^2+\frac{a}{2}n+bn&\text{計算して}\\
&=\frac{a}{2}n^2+(\frac{a}{2}+b)n&\text{整理}
\end{align*}
\]
しかし，これは次のように計算するのが実戦的です．
\[
\begin{align*}
\displaystyle \sum^n_{k=1}(ak+b)&=\frac{n\left\{(a+b)+(an+b)\right\}}{2}\\
&=\frac{n(an+a+2b)}{2}
\end{align*}
\]
このように一行で済みます．これはどう考えたのかというと・・・
まず，\(\Sigma\)の後ろが\(k\)についての１次式\(ak+b\)であることから，聞かれているものが「等差数列の和」であることが見て取れます（ここを見抜くのがポイント）．ですからあとは等差数列の和の公式を使えばいいだけです．等差数列の和の公式で必要な要素は項数，初項，末項でしたが，これらは暗算ですぐに調べられます：
項数は？今，\(\sum^n_{k=1}\)，つまり\(1\)番から\(n\)番までの和，ですから項数は\(n\)個です．
初項は？\(ak+b\)の\(k\)に\(k=1\)と代入すればいいでしょう．\(a\cdot 1+b=a+b\)．
末項は？\(ak+b\)の\(k\)に\(k=n\)と代入すればいいでしょう．\(a\cdot n+b=an+b\)．
このように，項数\(n\)，初項\(a+b\)，末項\(an+b\)とすぐに分かりますから，あとはこれらを等差数列の和の公式に当てはめ，\[\frac{n\left\{(a+b)+(an+b)\right\}}{2}=\frac{n(an+a+2b)}{2}\]と即答できるわけです．
練習問題
\(\displaystyle \sum^{3n-1}_{k=7}(3k+2)\)を計算せよ．
これも，
\[
\begin{align*}
\displaystyle \sum^{3n-1}_{k=7}(3k+2)=&3\sum^{3n-1}_{k=7}k+\sum^{3n-1}_{k=7}2\\
=&3\left(\sum^{3n-1}_{k=1}k-\sum^{6}_{k=1}k\right)+\left(\sum^{3n-1}_{k=1}2-\sum^{6}_{k=1}2\right)\\
=&\cdots
\end{align*}
\]
として計算するのは悪手です．
上のように，\(\Sigma\)の後ろが\(k\)についての１次式であることから，等差数列の和であることを見抜き，項数，初項，末項を調べます．
項数は？今，\(\sum^{3n-1}_{k=7}\)，つまり\(7\)番から\(3n-1\)番までの和，ですから項数は\((3n-1)-7+1=3n-7\)個です（\(+1\)に注意！）．
初項は？\(3k+2\)の\(k\)に\(k=7\)と代入すればいいでしょう．\(3\cdot 7+2=23\)．
末項は？\(3k+2\)の\(k\)に\(k=3n-1\)と代入すればいいでしょう．\(3\cdot (3n-1)+2=9n-1\)．
よって，等差数列の和の公式より，
\[
\begin{align*}
\displaystyle \sum^{3n-1}_{k=7}(3k+2)&=\frac{(3n-7)\left\{23+(9n-1)\right\}}{2}\\
&=\frac{(3n-7)(9n+22)}{2}
\end{align*}
\]
と即答できます．