\[
\begin{align*}
&ax+by+c=0\\
\Longleftrightarrow~&a\left(x+\frac{c}{2a}\right)+b\left(y+\frac{c}{2b}\right)=0\\
\Longleftrightarrow~&\left(\begin{array}{c}a\\b\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}x+\frac{c}{2a}\\y+\frac{c}{2b}\end{array}\right)=0\\
\Longleftrightarrow~&\left(\begin{array}{c}a\\b\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}x-\left(-\frac{c}{2a}\right)\\y-\left(-\frac{c}{2b}\right)\end{array}\right)=0\\
\end{align*}
\]
最後の式の主張は「点\((x,~y)\)と点\(\left(-\frac{c}{2a},~-\frac{c}{2b}\right)\)を結んだベクトルが，ベクトル\((a,~b)\)と垂直になる」ということ（内積が０ですから）．そのような条件をみたす点\((x,~y)\)の集まりは当然，直線となるわけですが，同値変形の元の式を見ると，その直線は\(ax+by+c=0\)という直線です．したがって直線\(ax+by+c=0\)に垂直なベクトル（の１つ）が\((a,~b)\)，であると言えます．
「\(ax+by\)という１次結合の形が現れたら，内積とみる」という視点は受験数学においても大切な視点です．