点と直線の距離の公式を証明してみましょう．
直線\(l:ax+by+c=0\)と，この直線上にない点を\(\mathrm{P}(x_0,~y_0)\)，そして下図に示す直線\(l\)上の点を\(\mathrm{A}(p,~q)\)とします．
まず\(l\)の法線ベクトルを求め，図示します．法線ベクトルは\(x\)と\(y\)との係数から\((a,~b)\)でしたね（なぜ？）．また，\(\overrightarrow{\mathrm{AP}}\)を図示しておきます．（下図では\((a,~b)\)を列ベクトルで表記しています．）
求めたいものも図示しておきましょう．それは，
上図の赤い線分\(\mathrm{AH}(=|\overrightarrow{\mathrm{AH}}|)\)ですね．
気づいたでしょうか？これはほかならぬ正射影ベクトル（の大きさ）です．ですから結局，「点と直線の距離は，正射影ベクトルを求めて，その大きさを求めればよい」と分かります．
ここで正射影ベクトルの公式の出番です！
正射影ベクトルを求めるために，ベクトル\((a,~b)\)を正規化（大きさを１にすること）しておきましょう：
\[\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}
\left(\begin{array}{c}
a \\
b \\
\end{array}\right)
\]
このベクトルを\(\overrightarrow{n}\)とおきます．すると，正射影ベクトルの公式から，\(\overrightarrow{\mathrm{AH}}\)は\[(\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot\overrightarrow{n})\overrightarrow{n}\]と書けますね．\[\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\left(\begin{array}{c} x_0\\ y_0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c} p\\ q\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} x_0-p\\ y_0-q\end{array}\right)
\]
ですから，計算すると
\[
\begin{align*}
&\overrightarrow{\mathrm{AH}}=(\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot\overrightarrow{n})\overrightarrow{n}\\
=&\left\{\left(\begin{array}{c} x_0-p\\ y_0-q\end{array}\right)\cdot\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}
\left(\begin{array}{c}
a \\
b \\
\end{array}\right)\right\}\overrightarrow{n}\\
=&\frac{a(x_0-p)+b(y_0-q)}{\sqrt{a^2+b^2}}\overrightarrow{n}
\end{align*}
\]
\(\mathrm{AH}=|\overrightarrow{\mathrm{AH}}|\)ですから，\(\left| \overrightarrow{n}\right|=1\)であることに注意して，
\[
\begin{align*}
\mathrm{AH}=&|\overrightarrow{\mathrm{AH}}|\\
=&\left|\frac{a(x_0-p)+b(y_0-q)}{\sqrt{a^2+b^2}}\overrightarrow{n}\right|\\
=&\frac{|ax_0+by_0-ap-bq|}{\sqrt{a^2+b^2}}|\overrightarrow{n}|\\
=&\frac{|ax_0+by_0-ap-bq|}{\sqrt{a^2+b^2}}
\end{align*}
\]
ここで，\((p,~q)\)は直線\(l\)上の点でしたから，\[ap+bq+c=0\quad \text{すなわち}\quad c=-ap-bq\]が成り立ちます．したがって，上の式は結局
\[\mathrm{AH}=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\]となります．
この証明のいいところは，まず簡潔で記述量（計算量）が少ない（＝かっこいい）という点，それにこの公式の三次元バージョンとでもいいますか「点の平面の距離の公式」を導出する際もまったく同じように応用できるという点です．他にも，数学検定１級１次の問題でこのアイデアが使える問題がありました．いずれ紹介したいと思います．
また，この証明を通して「正射影ベクトルの公式」の使いどころも感じて貰えたかと思います．
今回はとりあえずここまでにして，「点と平面の距離の公式」も後ほど記事にしてみたいと思います．