宝くじの期待値

宝くじを買います.人はみなそれぞれ当たる額を予想するでしょう.
「1億円当たってほしい!」「いや欲は言わない,10万円でいいから当たって欲しい」「3億円あたったら何しよう(妄想)」などなど.

このような願望に基づく「人間的な予測値」ではなく,極力客観的な,すなわち「数学的な予測値」を考えてみましょう.それが「期待値」という値です.
\[\text{期待値とは,いくら当たるのかを数学的に予測した値}\]計算式はかんたん.\[\sum \left(\text{(当選金額)}\times\text{(当選確率)}\right)\]

さあ,宝くじの期待値を計算してみましょう.

まず,宝くじの仕組みの確認から.
宝くじ券には,「ユニット」「組」「番号」の3つの情報で構成されています.

ここでは,「ドリームジャンボ宝くじ(第787回全国自治宝くじ)」を例にとって考えてみます.

この回の宝くじでは,

\begin{align*}
\text{組に}&~~1~100\\
\text{番号に}&~~100000~199999
\end{align*}

の番号が振られているそうです.
組が100通り,番号が100000通りですから,\[100\times100,000=10,000,000\]つまり1千万枚の宝くじ券があることになります.この,組と番号の1千万通りの宝くじ券を「1ユニット」と呼びます.この第787回宝くじでは,\[13~\text{ユニット}\]発行するそうですから,結局,\[10,000,000\times13=130,000,000\]すなわち宝くじの発行総枚数は1億3千万枚,ということになります.ひえ~.

次に,各賞の枚数を計算してみましょう.

※ 当選の組と番号は第770回のドリームジャンボ宝くじのを流用しています
※ \(\ast\)\(\ast\)\(\ast\)は1~100までの任意の数です
※ ■は0または1が入ります
※ ●は0~9までの数が入ります

番号 1ユニット
あたりの本数
13ユニット
あたりの本数
合計 当選金額 確率
1等 96 122234 1 13 13 300,000,000 0.0000001
1等
前後賞
96
96
122233
122235
1
1
13
13
26 100,000,000 0.0000002
1等
組違い賞
1~95
97~100
122234 99 1287 1287 100,000 0.0000099
2等 135
29
93
186460
197327
131661
1
1
1
13
13
13
39 10,000,000 0.0000003
3等 ■●3
■●3
■●4
195345
139690
193003
2×10=20
2×10=20
2×10=20
260
260
260
780 1,000,000 0.000006
4等 \(\ast\)\(\ast\)\(\ast\)
\(\ast\)\(\ast\)\(\ast\)
1●9246
1●7311
100×10=1000
100×10=1000
13000
13000
26000 100,000 0.0002
5等 \(\ast\)\(\ast\)\(\ast\) 1●●823 100×10^2=10000 130000 130000 10,000 0.001
6等 \(\ast\)\(\ast\)\(\ast\) 1●●●13 100×10^3=100000 1300000 1300000 3,000 0.01
7等 \(\ast\)\(\ast\)\(\ast\) 1●●●●2 100×10^4=1000000 13000000 13000000 300 0.1

期待値を計算すると,

\[
\begin{align*}
&3000000000\times\frac{13}{130000000}+100000000\times\frac{26}{130000000}+100000\times\frac{1287}{130000000}\\+&10000000\times\frac{39}{130000000}+1000000\times\frac{780}{130000000}+100000\times\frac{26000}{130000000}\\
+&10000\times\frac{130000}{130000000}+3000\times\frac{1300000}{130000000}+300\times\frac{13000000}{130000000}\\
=&150
\end{align*}
\]

ゼロの個数あってるかな(実際はエクセルで計算しました).

・・・150円.つまり数学的には150円当たる,と予測できるわけです.しかし考えてみてください.ドリームジャンボ宝くじは一枚いくらしますか.

・・・300円!!!

うーん.買わない方がいいですね^^;

 

おわり

気仙沼の塾として

塾の役割とはなんでしょうか.

学問レベルって,

・・・→①中学教科書レベル→②高校受験レベル→③高校教科書レベル→④(下位)大学受験レベル→➄(中位)大学受験レベル→⑥(上位)大学受験レベル→➆大学教養レベル→⑧大学専門レベル→・・・

という過程を踏むと思います.塾のあるべき役割とは,やはり②高校受験レベル,④~⑥大学受験レベルに特化することだと思います.さらに,現在「高大接続」への取組みが叫ばれているように(文部科学省「高大接続改革」),➆大学教養レベルを見据えた➄,⑥を指導できるかどうかがこれからは重要になってくるのではないでしょうか.気仙沼の私塾だとちょうどこの➄~➆のステージが手薄になっているような気がします.ここのニーズに答えられるような塾でありたいと思っています.

また,当然ながら上のレベルに特化している塾であれば,その下のレベルの指導内容は必然的に万全なものとなります.例えば中学生なら,高校数学教師に高校数学を見据えた数学を教わることはとても大きなアドバンテージになるはずです.

このように考えれば,塾という存在は生徒を指導するだけでなく,教える側自身が常に学問的にレベルアップを図っていかねばならないと改めて思います.

連立方程式

数学検定1級1次試験の問題.

次の\(x\)に関する方程式の実数解を求めなさい.
\[3x^2-12x+8=\frac{8\sqrt{x-1}}{\sqrt{3}}\]

方針:\(y=\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{3}}\)とおく.

【解答?】

\(\left\{\begin{array}{l}3x^2-12x+8=8y\\y=\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{3}}\end{array}\right.\)

を解く.第2式を\(x=3y^2+1\)と変形し,第1式に代入すると,\[27y^4-18y^2-8y-1=0\]という高次方程式を得る.これを解くと,\[y=-\frac{1}{3}\text{または}y=1\]が得られ,これを第2式に代入することで解\[x=\frac{4}{3}\text{または}x=4\]を得る.【解答?終】

これは間違いです.\(x=\frac{4}{3}\)が不適解だからです.以前紹介した通り,「逆(十分性)の考察」をしていないがための誤りです.実際,\((\frac{4}{3},-\frac{1}{4})\)を代入すると与式は成り立ちません.

はじめから同値変形する方針だと以下のようになります.

【解答】
\begin{align*}
&3x^2-12x+8=8y\land y=\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{3}}\\
\Longleftrightarrow &3x^2-12x+8=8y\land \sqrt{3}y=\sqrt{x-1}\\
\Longleftrightarrow &3x^2-12x+8=8y\land 3y^2=x-1 \land y>0 ~~(\ast)\\
\Longleftrightarrow &3x^2-12x+8=8y\land x=3y^2+1 \land y>0\\
\Longleftrightarrow &27y^4-18y^2-8y-1=0\land x=3y^2+1 \land y>0\\
\Longleftrightarrow &27(y-1)\left(y+\frac{1}{3}\right)^3=0\land x=3y^2+1 \land y>0\\
\Longleftrightarrow &(y=-\frac{1}{3}\lor y=1)\land x=3y^2+1 \land y>0\\
\Longleftrightarrow & y=1\land x=3y^2+1 \\
\Longleftrightarrow & y=1\land x=4
\end{align*}

\((\ast)\)だけが注意すべき同値変形で,他の部分は実質いつもの計算です.

同値変形に慣れていない人が安易に同値記号を乱用すると,十分性が言えないのに命題同士を同値記号で結んでしまい,結果大きく減点されたりと痛い目にあうでしょう.がしかし,同値記号を使うことは必要性や十分性を意識するきっかけにもなりますから,どんどん使って間違いまくって,その間違いを指摘してもらいながら学んでいくのがいいのではないかと僕は思います(指摘してもらえる環境がなければ無理に使わない方がいいかもしれません).

また,同値性が不安なときは無理に同値記号を使わず,安全のため必要性(\(\Rightarrow\))だけを追っていき,後で十分性を確認する,という例の方法をとった方が無難でしょう.

いずれにしても,「\(\Leftrightarrow\)だけで考える」「\(\Rightarrow\)のあとに\(\Leftarrow\)を確認する」のうち必ずどちらか一方で攻める・・・!という偏った姿勢ではなく,臨機応変に使い分けてください.このブログでも,それぞれの考え方が役立つ場面を取り扱っていきたいと思います.

同値変形の重要性2

論理式を記述する際,必要性だけで横着せずに,改行するごとに十分性まで考える,すなわち同値変形すればいいのです.

\[P_1\Longleftrightarrow P_2\Longleftrightarrow P_3\Longleftrightarrow\cdots \Longleftrightarrow P_n\]

このように変形すれば,行を追うごとに同値性を確認しているので,最後に逆を確認する必要がない.(★★)

このことに注意して再度解答を作成してみます.

【解答”】
\[\begin{align*}
&2-x=\sqrt{x}\\
\Longleftrightarrow&~(2-x)^2=x \land 2-x>0 \\
\Longleftrightarrow&~x^2-4x+4=x \land 2>x\\
\Longleftrightarrow&~x^2-5x+4=0 \land x<2\\
\Longleftrightarrow&~(x-4)(x-1)=0 \land x<2\\
\Longleftrightarrow&~(x=4 \lor x=1) \land x<2\\
\Longleftrightarrow&~(x=4 \land x<2) \lor (x=1\land x<2) \\
\Longleftrightarrow&~x=1\land x<2 \\
\Longleftrightarrow&~x=1
\end{align*}
\]

【解答”終】

このように同値変形を行えば,逆の考察をする必要がなく,解は\(x=1\)と自信をもって答えられます(参考:軌跡の問題を論理式で記述する

また,この解答のように論理記号\(\lor\)や\(\land\)やその分配法則を用いると簡潔に記述できます.論理記号の意味やその各種法則などの使い方も知っておくことは数学を学ぶ上で強力な武器(というかなくてはならない基礎体力)になります.ですから余力のある人は受験数学範囲の(記号)論理学を学んでおくといいと思います.

ちなみに,数学Ⅲを履修している人は,無理関数のグラフを描くことで視覚的に不適解を排除することができるでしょう.そっちの解答の方が直観的で手間もなく,実戦的だと思います.しかし,「絵」による定性的判断は時に誤った結論を導くことがあります.一方,論理による定量的判断は絶対です.その意味で,論理を味方にしておくことは極めて重要と個人的に思います.

というわけで,(★)の考え方だけでなく,(★★)の考え方も攻め方として持っておくとよいでしょう.それぞれにメリット,デメリットがあります.どちらか片方だけに固執するのではなく,状況に応じて攻め方を変えられるようになりたいものです.

同値変形の重要性

前回,式の記述について投稿しました.なぜ,あのような考え方が重要なのでしょうか.例えば,こんな問題があったとします.\[2-x=\sqrt{x}\text{ を解け.}\]

よくある誤答.

【誤答】
\[\begin{align*}
2-x&=\sqrt{x}\\
(2-x)^2&=x\\
x^2-4x+4&=x\\
x^2-5x+4&=0\\
(x-4)(x-1)&=0
\end{align*}
\]
ゆえに,\[x=1, 4\]
(誤答終)

どこがおかしいのでしょうか?得られた解のひとつ\(x=1\)を与式に代入すると,
\[\begin{align*}
2-1&=\sqrt{1}\\
1&=1
\end{align*}
\]
となり矛盾はありません.しかし\(x=4\)を与式に代入すると,
\[\begin{align*}
2-4&=\sqrt{4}\\
-2&=2
\end{align*}
\]
となり矛盾します.ここで,元の与式をよく観察すると,左辺の\(\sqrt{x}\)は必ず正であるから,当然右辺\(2-x>0\)も正すなわち\(x<2\).したがって,得られた解のうち\(4\)の方は不適な解であることが分かります.このことに注意すると,以下のように解答を修正でき,正答が得られます.

【解答】
\[\begin{align*}
2-x&=\sqrt{x}\\
(2-x)^2&=x\\
x^2-4x+4&=x\\
x^2-5x+4&=0\\
(x-4)(x-1)&=0
\end{align*}
\]
ゆえに,\[x=1, 4\]
ここで,\(x<2\)であるから,解は\[x=1\]である.(解答終)

この解答を,論理記号を用いて正確に記述し直してみましょう.

【解答’】
\[\begin{align*}
&~2-x=\sqrt{x}\\
\Longrightarrow&~(2-x)^2=x\\
\Longrightarrow&~x^2-4x+4=x\\
\Longrightarrow&~x^2-5x+4=0\\
\Longrightarrow&~(x-4)(x-1)=0
\end{align*}
\]

すなわち,

\[2-x=\sqrt{x}\Longrightarrow x=1\lor x=4\]を得る(\(\lor\)は論理記号で「または」の意).この時点では,\(x=1\lor x=4\)は必要条件にしか過ぎない.だから,次にこの十分性について調べる.すなわち,\[2-x=\sqrt{x}\Longleftarrow x=1\lor x=4\]について調べる.\(2-x=\sqrt{x}\longleftarrow x=4\)は偽である.他方,\(2-x=\sqrt{x}\longleftarrow x=1\)は真である.すなわち\(2-x=\sqrt{x}\Longleftarrow x=1\).よって(※),\[2-x=\sqrt{x}\Longleftrightarrow x=1\]を得る.(解答’終)

(※模式的にかけば\(p\Rightarrow q\lor r\),\(p \Leftarrow q\),\(\overline{p\Leftarrow r}\)のとき,\(p \Leftrightarrow q\)すなわち
\[(p\rightarrow q \lor r) \land (p \leftarrow q) \land (\overline{p \leftarrow r}) \Longrightarrow (p\leftrightarrow q)\]
なのですが,これは真理表で確認できます)

この解答は,いってみれば「とりあえず十分性を考えず必要性だけを意識して変形して,最後の最後に\(2-x=\sqrt{x}\)の十分性を考えた」となります.模式的に書けば,\[P_1\Longrightarrow P_2\Longrightarrow P_3\Longrightarrow\cdots \Longrightarrow P_n\]と変形してから,\[P_1\Longleftarrow P_n\](十分性)を確認する,という考え方(★)です.もちろん間違ってはいないんだけど,個人的に気になる点が2つ.

  • 最初の【解答】で示した解答を作る人は,論理を意識していないことが多い.だから,そもそも「逆を確認しよう」なんては考えない.結果,これを他の分野にも跨る「論理の問題」として捉えず,「この問題『特有の』解法」として「記憶(暗記)」することになる(「無理方程式では,最後に解を満たすかどうか確認すればいいのね!」・・・などと).統一的な視点は連鎖的な理解を生み,その記憶の保持にもほとんど労力を要さない.対して,他の知識と紐づけされない孤立した知識は脳みそにいらぬ負担をかけることになる.そして苦労して記憶したわりに応用がきかないというオマケつき.
  • この「最後に逆を確認する」という作業が,今回のように簡単であれば問題ない.しかし,数学Ⅱの「軌跡」分野のように,逆の考察が難しい場合は何をもって逆を確認するのか(本によっては理由もなしに「逆も成り立つ」の一言で済ませている記述もある.この類の記述は本当に無責任だと個人的に思う.参考:軌跡の問題を論理式で記述する).

というわけで,(★)のような考え方(記述)はよく見かけます.が,他に考え方はあるのでしょうか.(つづく

式の記述について

中学生~高校1年生の記述を見ていると気になることがあります.例えば,方程式 \(x^2+5x+2=0\) を解け,という問題.

(解答1)
\[\begin{align}
x&=\frac{-5\pm\sqrt{5^2-4\cdot2}}{2}\\
&=\frac{-5\pm\sqrt{25-8}}{2}\\
&=\frac{-5\pm\sqrt{17}}{2}
\end{align}\]

(解答2)
\[\begin{align}
x&=\frac{-5\pm\sqrt{5^2-4\cdot2}}{2}\\
x&=\frac{-5\pm\sqrt{25-8}}{2}\\
x&=\frac{-5\pm\sqrt{17}}{2}
\end{align}\]

もちろん,どちらも正解です.ただ,主張していることが微妙に違います.言葉で説明するより数式で表現した方が早いので,数式で説明してみます.それぞれの解答を少し書き直してみます.

(解答1’)
\[x=\frac{-5\pm\sqrt{5^2-4\cdot2}}{2}=\frac{-5\pm\sqrt{25-8}}{2}=\frac{-5\pm\sqrt{17}}{2}\]

(解答2’)
\[\begin{align}
x&=\frac{-5\pm\sqrt{5^2-4\cdot2}}{2}\\
\Longleftrightarrow x&=\frac{-5\pm\sqrt{25-8}}{2}\\
\Longleftrightarrow x&=\frac{-5\pm\sqrt{17}}{2}
\end{align}\]
すなわち
\[x=\frac{-5\pm\sqrt{5^2-4\cdot2}}{2}
\Longleftrightarrow x=\frac{-5\pm\sqrt{25-8}}{2}
\Longleftrightarrow x=\frac{-5\pm\sqrt{17}}{2}\]

 

つまり,(解答1)は「1つの式を(横にダラダラ続けると見づらいので)縦に改行したもの」,(解答2)は「複数の式を同値記号\(\Leftrightarrow\)でつなぎ,さらにその同値記号を省略したもの」を意味しています.ちょっと難しい言葉を使うと,(解答1)が単一の式で表された命題(条件)であるのに対し,(解答2)は複数の命題が同値記号で結ばれた合成命題である,ということです.

もちろん,中学生は上の話を理解できなくてもいいのですが,意味がちょっと違う,ということだけは少なくとも認識しておきたいところです.個人的には中学生段階では(解答1)のように書くことを勧めます.同値性を認識せずに(省略されているとはいえ)同値記号\(\Leftrightarrow\)を使っているのはちょっとまずい気がしますし,また単純な計算問題において同じことを何度も書くのはくどいしかっこ悪いからです.

高校生の皆さんも,一般に,式が縦に並んでいるときは同値記号\(\Leftrightarrow\)が省略されているんだなと認識しておくのがとよいと思います.記述における必要性や十分性を意識するひとつのきっかけにもなると思いますから.

合同式の有用性

数学Aの整数分野に「合同式」という話題があります.しかし,学校の授業だと時間の関係上割愛されることも多い.実際,僕も学校で授業するときは時間が一杯一杯で余裕がなく,ここはいつもとばしていました.そんなことをふと思い出したので,ちょっとこの話題について触れてみようと思います.

数学検定1級の1次の問題に,こんな問題がありました.\[23^{23^{23}}\text{の第一位の数を答えよ}\]「第一位の数を求めろ」問題の定石は,おなじみ「実験して推測しろ」なので,少し実験してみることにします.一の位の数のみに着目して計算すると,\[3\rightarrow9\rightarrow7\rightarrow1\rightarrow3\rightarrow9\rightarrow7\rightarrow1\rightarrow\cdots\]となり,\[3,9,7,1\]を繰り返していることが分かります.これはいわば繰り返しの周期が4であることを示しているので,結局,\(23\)の冪(べきと読みます)\(23^{23}\)に周期4がいくつあるか,すなわち,\[23^{23}\text{を}4\text{で割った余りはいくらか}\]という問題に帰着します.ここで,合同式を利用すると以下のように数行で終わります.\[\begin{align}23^{23}&\equiv (-1)^{23} \\&\equiv -1 \\ &\equiv 3\end{align}\]ゆえに,\[23^{23}=4\times Q+3\]したがって,求める答えは周期の前から3番目,すなわち7と分かります.かんたん!

このように合同式を学んでおくと解きづらい問題・考えづらい問題も明解に論述できることが少なくありません.というわけで,皆さんも合同式について学んでみてはいかがでしょうか.

日々の学習について2

  • 質問しよう
    問題や内容が「分からない」と悩む生徒は多い.でも,具体的にどこが「分からない」のか,自分なりに分析しているだろうか.「どこが分からないのかわからない」・・・?それなら,自分がどこで躓いているのか,なぜ理解できないのか,先生に相談してみただろうか.「わからないけど,その分析も質問もしたくないから,そこは『察して』説明してほしい」という思いがもしあるなら,その考え方は改めなければなりません.
    生徒自身が頭と手を動かし,そこで発生した疑問について質問し,教師がそれに答え,生徒は理解し,次へ進む.そしてまた疑問が湧いてきて,それに教師が答え・・・というサイクル,成長にはこれが必要不可欠です(だから僕の塾では「対話」を重要視しています).・・・断言しますが,先生に一方通行的に教えてもらうだけ(授業を聞くだけ)では,実質的な成長は絶対にありえません.
    数学が苦手な生徒はまず,自分が出来るレベルからでいいから,泥臭くもがいてみよう.そしてその過程で発生した疑問を,恥ずかしがらずにどんどん質問しよう.どこがわからないのかすらわからないのなら,どこをから勉強し直せばいいのか,先生に相談しよう.そういった積極性は,数学ができるようになるための必要条件です.「質問できる」という環境を,最大限に利用しよう.

日々の学習について1

  • ノートをとるより授業を聞こう
    授業をよく聞き,本(教科書)をよく読み,理解すること
    まず,学校の授業をよく聞き,内容の理解に努めること.例え授業の内容が分からないくても,大まかな雰囲気だけは少なくとも掴めるはず.全体の3割でもわかればそれだけでも十分収穫です.まず,話を聞き,ざっくりでいいので理解に努めよう.また,たとえ理解できなくても,その経験,すなわち「分からないところ」が分かっただけでもそれはとても大きな収穫です.「分からないところ」が分かれば,あとはその箇所をピンポイントで復習するなり質問するなり参考書で調べるなりして理解すればいいのだから.
    また,授業を受ける際は,板書を取るよりも話を聞くことを優先させること.先生が話をしているのに,話そっちのけで「綺麗に」ノートを取ろうとするとなどはもってのほか(綺麗な解答解説など教科書に書いてある!).極端に言えば,大事だと思った内容だけをノートか教科書にざっくりメモしていればよい.とにかくまず,顔をあげて先生の話を聞こう.授業を大切に.

先生であるために

教える側こそ,生徒以上に勉強しなければならない.指導する側が生徒以上の学びを「現在進行形で」行ってはじめて指導者は指導者たり得る.これが僕の信条です.昨年,数学検定1級を取得したひとつの理由がこれでした.

生徒にとっての「先生」であり続けるために,次の数学の目標を設定したいと思います.数学検定1級の上があればそれを目指すんだけど,現在,数学検定は1級が最高級(でも昔は「段位」まであったらしい・・・!).数学書の読破,でもいいけどその習熟具合を客観的に測るものがないので,目標としてはちょっと弱い(趣味・教養の色合いがどうしても強くなってしまう).そこで,数学関係の資格を調べると「統計検定」なるものがあります.今度はこの「統計検定」にチャレンジしてみようと思う.これは2級から大学教養レベルで,1級は完全に大学専門レベルになるようだ.まさにチャレンジしがいがある.大学時代学びそこなった(=ついていけなかった笑)数理統計学にリベンジしたいという思いもある.

このような検定などを通した学びの目的は,「スキルアップ」「自己実現」だけではない.試験とその対策という実体験を通して生徒の気持ちが痛いほどよくわかるようになるという強烈な副産物がある.未知の概念や記号に圧倒される恐怖感,理解しきれず前へ進めないときの絶望感と孤独感,成長が感じられないとき試験に落ちたときの虚無感.他方,新たな知識と理解を得たときの達成感や有能感,手を動かし練習に明け暮れたあとの心地よい疲労感,そして合格したときの喜び.

教える側として「生徒の気持ちを知る」とは,こういうことだと思う.

生徒の見本となるよう,統計検定1級を取得しようと思います!

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