式の記述について

中学生~高校1年生の記述を見ていると気になることがあります.例えば,方程式 \(x^2+5x+2=0\) を解け,という問題.

(解答1)
\[\begin{align}
x&=\frac{-5\pm\sqrt{5^2-4\cdot2}}{2}\\
&=\frac{-5\pm\sqrt{25-8}}{2}\\
&=\frac{-5\pm\sqrt{17}}{2}
\end{align}\]

(解答2)
\[\begin{align}
x&=\frac{-5\pm\sqrt{5^2-4\cdot2}}{2}\\
x&=\frac{-5\pm\sqrt{25-8}}{2}\\
x&=\frac{-5\pm\sqrt{17}}{2}
\end{align}\]

もちろん,どちらも正解です.ただ,主張していることが微妙に違います.言葉で説明するより数式で表現した方が早いので,数式で説明してみます.それぞれの解答を少し書き直してみます.

(解答1’)
\[x=\frac{-5\pm\sqrt{5^2-4\cdot2}}{2}=\frac{-5\pm\sqrt{25-8}}{2}=\frac{-5\pm\sqrt{17}}{2}\]

(解答2’)
\[\begin{align}
x&=\frac{-5\pm\sqrt{5^2-4\cdot2}}{2}\\
\Longleftrightarrow x&=\frac{-5\pm\sqrt{25-8}}{2}\\
\Longleftrightarrow x&=\frac{-5\pm\sqrt{17}}{2}
\end{align}\]
すなわち
\[x=\frac{-5\pm\sqrt{5^2-4\cdot2}}{2}
\Longleftrightarrow x=\frac{-5\pm\sqrt{25-8}}{2}
\Longleftrightarrow x=\frac{-5\pm\sqrt{17}}{2}\]

 

つまり,(解答1)は「1つの式を(横にダラダラ続けると見づらいので)縦に改行したもの」,(解答2)は「複数の式を同値記号\(\Leftrightarrow\)でつなぎ,さらにその同値記号を省略したもの」を意味しています.ちょっと難しい言葉を使うと,(解答1)が単一の式で表された命題(条件)であるのに対し,(解答2)は複数の命題が同値記号で結ばれた合成命題である,ということです.

もちろん,中学生は上の話を理解できなくてもいいのですが,意味がちょっと違う,ということだけは少なくとも認識しておきたいところです.個人的には中学生段階では(解答1)のように書くことを勧めます.同値性を認識せずに(省略されているとはいえ)同値記号\(\Leftrightarrow\)を使っているのはちょっとまずい気がしますし,また単純な計算問題において同じことを何度も書くのはくどいしかっこ悪いからです.

高校生の皆さんも,一般に,式が縦に並んでいるときは同値記号\(\Leftrightarrow\)が省略されているんだなと認識しておくのがとよいと思います.記述における必要性や十分性を意識するひとつのきっかけにもなると思いますから.

合同式の有用性

数学Aの整数分野に「合同式」という話題があります.しかし,学校の授業だと時間の関係上割愛されることも多い.実際,僕も学校で授業するときは時間が一杯一杯で余裕がなく,ここはいつもとばしていました.そんなことをふと思い出したので,ちょっとこの話題について触れてみようと思います.

数学検定1級の1次の問題に,こんな問題がありました.\[23^{23^{23}}\text{の第一位の数を答えよ}\]「第一位の数を求めろ」問題の定石は,おなじみ「実験して推測しろ」なので,少し実験してみることにします.一の位の数のみに着目して計算すると,\[3\rightarrow9\rightarrow7\rightarrow1\rightarrow3\rightarrow9\rightarrow7\rightarrow1\rightarrow\cdots\]となり,\[3,9,7,1\]を繰り返していることが分かります.これはいわば繰り返しの周期が4であることを示しているので,結局,\(23\)の冪(べきと読みます)\(23^{23}\)に周期4がいくつあるか,すなわち,\[23^{23}\text{を}4\text{で割った余りはいくらか}\]という問題に帰着します.ここで,合同式を利用すると以下のように数行で終わります.\[\begin{align}23^{23}&\equiv (-1)^{23} \\&\equiv -1 \\ &\equiv 3\end{align}\]ゆえに,\[23^{23}=4\times Q+3\]したがって,求める答えは周期の前から3番目,すなわち7と分かります.かんたん!

このように合同式を学んでおくと解きづらい問題・考えづらい問題も明解に論述できることが少なくありません.というわけで,皆さんも合同式について学んでみてはいかがでしょうか.

日々の学習について2

  • 質問しよう
    問題や内容が「分からない」と悩む生徒は多い.でも,具体的にどこが「分からない」のか,自分なりに分析しているだろうか.「どこが分からないのかわからない」・・・?それなら,自分がどこで躓いているのか,なぜ理解できないのか,先生に相談してみただろうか.「わからないけど,その分析も質問もしたくないから,そこは『察して』説明してほしい」という思いがもしあるなら,その考え方は改めなければなりません.
    生徒自身が頭と手を動かし,そこで発生した疑問について質問し,教師がそれに答え,生徒は理解し,次へ進む.そしてまた疑問が湧いてきて,それに教師が答え・・・というサイクル,成長にはこれが必要不可欠です(だから僕の塾では「対話」を重要視しています).・・・断言しますが,先生に一方通行的に教えてもらうだけ(授業を聞くだけ)では,実質的な成長は絶対にありえません.
    数学が苦手な生徒はまず,自分が出来るレベルからでいいから,泥臭くもがいてみよう.そしてその過程で発生した疑問を,恥ずかしがらずにどんどん質問しよう.どこがわからないのかすらわからないのなら,どこをから勉強し直せばいいのか,先生に相談しよう.そういった積極性は,数学ができるようになるための必要条件です.「質問できる」という環境を,最大限に利用しよう.

日々の学習について1

  • ノートをとるより授業を聞こう
    授業をよく聞き,本(教科書)をよく読み,理解すること
    まず,学校の授業をよく聞き,内容の理解に努めること.例え授業の内容が分からないくても,大まかな雰囲気だけは少なくとも掴めるはず.全体の3割でもわかればそれだけでも十分収穫です.まず,話を聞き,ざっくりでいいので理解に努めよう.また,たとえ理解できなくても,その経験,すなわち「分からないところ」が分かっただけでもそれはとても大きな収穫です.「分からないところ」が分かれば,あとはその箇所をピンポイントで復習するなり質問するなり参考書で調べるなりして理解すればいいのだから.
    また,授業を受ける際は,板書を取るよりも話を聞くことを優先させること.先生が話をしているのに,話そっちのけで「綺麗に」ノートを取ろうとするとなどはもってのほか(綺麗な解答解説など教科書に書いてある!).極端に言えば,大事だと思った内容だけをノートか教科書にざっくりメモしていればよい.とにかくまず,顔をあげて先生の話を聞こう.授業を大切に.

先生であるために

教える側こそ,生徒以上に勉強しなければならない.指導する側が生徒以上の学びを「現在進行形で」行ってはじめて指導者は指導者たり得る.これが僕の信条です.昨年,数学検定1級を取得したひとつの理由がこれでした.

生徒にとっての「先生」であり続けるために,次の数学の目標を設定したいと思います.数学検定1級の上があればそれを目指すんだけど,現在,数学検定は1級が最高級(でも昔は「段位」まであったらしい・・・!).数学書の読破,でもいいけどその習熟具合を客観的に測るものがないので,目標としてはちょっと弱い(趣味・教養の色合いがどうしても強くなってしまう).そこで,数学関係の資格を調べると「統計検定」なるものがあります.今度はこの「統計検定」にチャレンジしてみようと思う.これは2級から大学教養レベルで,1級は完全に大学専門レベルになるようだ.まさにチャレンジしがいがある.大学時代学びそこなった(=ついていけなかった笑)数理統計学にリベンジしたいという思いもある.

このような検定などを通した学びの目的は,「スキルアップ」「自己実現」だけではない.試験とその対策という実体験を通して生徒の気持ちが痛いほどよくわかるようになるという強烈な副産物がある.未知の概念や記号に圧倒される恐怖感,理解しきれず前へ進めないときの絶望感と孤独感,成長が感じられないとき試験に落ちたときの虚無感.他方,新たな知識と理解を得たときの達成感や有能感,手を動かし練習に明け暮れたあとの心地よい疲労感,そして合格したときの喜び.

教える側として「生徒の気持ちを知る」とは,こういうことだと思う.

生徒の見本となるよう,統計検定1級を取得しようと思います!

相関係数

\(n\)個のデータ\(x_1,x_2,\cdots,x_n\),\(y_1,y_2,\cdots,y_n\)(それぞれ平均を\(\mu,\lambda\)とする)の相関係数\(\rho(x,y)\)がなぜ$$-1\leq\rho(x,y)\leq1$$なのか,質問を受けたので,このブログでの数式表示の練習も兼ねて書いてみようと思います.

(証明)
天下り的ではあるが,まず,2つのベクトル$$\vec{u}=(x_1-\mu,x_2-\mu,\cdots,x_n-\mu),~\vec{v}=(y_1-\lambda,y_2-\lambda,\cdots,y_n-\lambda)$$を用意し,これらの内積を考える.すると,
$$
\begin{align}
\vec{u}\cdot\vec{v}&=(x_1-\mu)(y_1-\lambda)\cdots(x_n-\mu)(y_n-\lambda)\\
&=\sum_{k=0}^{n}(x_k-\mu)(y_k-\lambda)\\
\end{align}
$$
となる.他方,\(\vec{u}\cdot\vec{v}\)は,内積の公式(高校教科書では「定義」)より

$$
\begin{align}
\vec{u}\cdot\vec{v}&=\sqrt{(x_1-\mu)^2+(x_2-\mu)^2+\cdots+(x_n-\mu)^2}\sqrt{(y_1-\lambda)^2+(y_2-\lambda)^2+\cdots+(y_n-\lambda)^2}\cos\theta\\
&=\sqrt{\sum_{k=0}^{n}(x_k-\mu)^2}\sqrt{\sum_{k=0}^{n}(y_k-\lambda)^2}\cos\theta\\
\end{align}
$$

ゆえに,
$$\cos\theta=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\sqrt{\sum_{k=0}^{n}(x_k-\mu)^2}\sqrt{\sum_{k=0}^{n}(y_k-\lambda)^2}}$$
を得る.\(-1\leq\cos\theta\leq1\)であるから,上式は
$$-1\leq\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\sqrt{\sum_{k=0}^{n}(x_k-\mu)^2}\sqrt{\sum_{k=0}^{n}(y_k-\lambda)^2}}\leq1$$
である.前半に得た式をこの不等式に代入すれば,
$$-1\leq\frac{\sum_{k=0}^{n}(x_k-\mu)(y_k-\lambda)}{\sqrt{\sum_{k=0}^{n}(x_k-\mu)^2}\sqrt{\sum_{k=0}^{n}(y_k-\lambda)^2}}\leq1$$
分母分子を\(\frac{1}{n}\)で割って,
$$-1\leq\frac{\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n}(x_k-\mu)(y_k-\lambda)}{\frac{1}{n}\sqrt{\sum_{k=0}^{n}(x_k-\mu)^2}\sqrt{\sum_{k=0}^{n}(y_k-\lambda)^2}}\leq1\\
-1\leq\frac{\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n}(x_k-\mu)(y_k-\lambda)}{\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n}(x_k-\mu)^2}\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n}(y_k-\lambda)^2}}\leq1$$
すなわち
$$-1\leq\frac{Cov(x,y)}{\sigma(x)\sigma(y)}\leq1$$
よって,$$-1\leq\rho(x,y)\leq1$$を得る.(証明終)

結構疲れます^^;
ベクトルを使って統計の性質を証明するなんて,面白いです.

佐々木数学塾について。

地元気仙沼で数学塾を開校することになりました。これまで自分が学び,経験してきたことを地元の子供たちに伝えることができればと思います。数学ができるって,一言で言えば,かっこいい。その「かっこよさ」を伝えたい。というか,生徒と共有したい。成績や受験も大事だけど,数学特有のスマートさを感じて欲しい。まず最初にそんな思いがある。もちろん,それは「かっこいい」という自己満足だけじゃない。「かっこいい」数学というのは,結果的に,成績や受験に直結する。だって,「かっこよさ」こそがほんとうの「数学」なんだから。

一緒に数学を学びましょう!