カテゴリー: 確率

教科書では「研究」「発展」などに分類され，端っこの方に追いやれている話題です．授業でも扱わないことが多いので，無視して先に進む人も多いと思いますが，これは実はとても面白い話題です．今回はこの話題について触れてみます．

Ａさんを自分に置き換えて考えてみましょう．検査を受けたら「要精密検査」で，実際にがんの人が要精密検査とされる確率が\(90\%\)と言われたら，「ああ自分はがんなんだ…」と考え落ち込むのではないでしょうか．が，落ち着むのは尚早です．今置かれた状況をよく見ると「『要精密検査』という結果が与えられたときの，実際にがんである確率」ですから，これは条件付き確率です．では，実際に計算して自分ががんである確率を求めてみましょう！（注意：条件付き確率とベイズの定理についての知識が必要になります．未習の人はこれらの記事を先に読んでみてください．）条件付き確率の定義より，

\[P(\text{実際にがん}|\text{要精密検査})=\frac{P(\text{実際にがん}\cap\text{要精密検査})}{P(\text{要精密検査})}\]

まず，分子から求めてみます．確率の乗法定理より，
\[P(\text{実際にがん}\cap\text{要精密検査})=P(\text{実際にがん})P(\text{要精密検査}|\text{実際にがん})\]
です．問題文より，
\[P(\text{実際にがん})=\frac{1}{1000},\quad P(\text{要精密検査}|\text{実際にがん})=\frac{90}{100}\]
です．ですから分子は\[\frac{1}{1000}\times\frac{90}{100}\]となります．

次に分母．\(P(\text{要精密検査})\)つまり「『要精密検査』とされる確率」です．「『要精密検査』とされる」という状況には２通りあります．すなわち，

• • • • • 「実際にがんで，『要精密検査』」
        • 「実際にはがんではないのに，『要精密検査』」

という２通りの場合です．それぞれ

• • • • • \(P(\text{実際にがん}\cap \text{要精密検査})\)
        • \(P(\text{実際はがんではない}\cap \text{要精密検査})\)

と表されますから，結局分母は\[P(\text{実際にがん}\cap \text{要精密検査})+P(\text{実際はがんではない}\cap \text{要精密検査})\]と表されます（全確率の定理）．さらに，確率の乗法定理より，この式は
\[P(\text{実際にがん})P(\text{要精密検査}|\text{実際にがん})+P(\text{実際はがんではない})P(\text{要精密検査}|\text{実際はがんではない})\]と表されます．前の項は前半で求めました．\(\frac{1}{1000}\times \frac{90}{100}\)．後ろの項は，問題文より，
\[P(\text{実際はがんではない})=\frac{999}{1000},\quad P(\text{要精密検査}|\text{実際はがんではない})=\frac{10}{100}\]ですから\(\frac{999}{1000}\times\frac{10}{100}\)．ですから分母は
\[\frac{1}{1000}\times \frac{90}{100}+\frac{999}{1000}\times\frac{10}{100}\]となります．したがって，求める確率\(P(\text{実際にがん}|\text{要精密検査})\)は，
\[
\begin{align*}
P(\text{実際にがん}|\text{要精密検査})&=\frac{\frac{1}{1000}\times\frac{90}{100}}{\frac{1}{1000}\times \frac{90}{100}+\frac{999}{1000}\times\frac{10}{100}}\\
&=\frac{1\times 90}{1\times 90 +999\times 10}\\
&=\frac{9}{9+999}\\
&=\frac{1}{112}\approx 0.00893
\end{align*}
\]となります．なんと，「要精密検査」と言われ実際にがんである確率はたったの\(0.00893\)，つまり\(1\%\)にも満たない，ということです！

このように，確率は時として人間の直感を大きく裏切ります．しかし，論理によってはじき出された結果である以上，人間の感情としてどう感じようとそれは受け入れざるを得ない．そこが数学の面白さ・頼もしさのひとつだと思います．

という問題があったとしましょう．こんな問題を見たらどう思いますか？（勝つか負けるか，２分の１だ！は間違いですよ～）当然，こう思うと思います「そらＡ君が誰使うかによるだろ」と．では，どんな場合があるでしょうか．リュウを使う場合，ケンを使う場合，ガイルを使う場合，春麗を使う場合…．いろいろ考えられます．そして，ストⅡは２人同時に操作はできません（そのラウンドで１人のプレイヤーがリュウとケンと同時に操作し味方２人状態で戦うことはできません！）．つまり同時に起こることはありませんから，これらの場合は互いに排反です．したがって，求める確率は
\[
\begin{align*}
P(\text{A君が勝つ})=&P(\text{A君が勝つ}\cap\text{リュウを使う})+P(\text{A君が勝つ}\cap\text{ケンを使う})\\
&+P(\text{A君が勝つ}\cap\text{エドモンド本田を使う})+P(\text{A君が勝つ}\cap\text{春麗を使う})\\
&+P(\text{A君が勝つ}\cap\text{ブランカを使う})+P(\text{A君が勝つ}\cap\text{ザンギエフを使う})\\
&+P(\text{A君が勝つ}\cap\text{ガイルを使う})+P(\text{A君が勝つ}\cap\text{ダルシムを使う})
\end{align*}
\]
「Ａ君が勝つ」という事象を\(A\)，「リュウを使う」という事象を\(B_1\)，「ケンを使う」という事象を\(B_2\)，「エドモンド本田を使う」という事象を\(B_3\)，・・・，「ダルシムを使う」という事象を\(B_8\)とおくことにすれば，上の式は
\[
\begin{align*}
P(A)=&P(A\cap B_1)+P(A\cap B_2)+P(A\cap B_3)+P(A\cap B_4)\\
&+P(A\cap B_5)+P(A\cap B_6)+P(A\cap B_7)+P(A\cap B_8)\\
&=\displaystyle \sum^{8}_{i=1}P(A\cap B_i)
\end{align*}
\]すなわち\[P(A)=\displaystyle \sum^{8}_{i=1}P(A\cap B_i)\]と書けることがわかります．これを一般化すると，

であると言えそうです．これを全確率の定理と呼びます．

ところで「ストリートファイター」ってゲーム自体今はどれくらい知名度あるんだろう？僕の時代は知らない人はいないくらいに流行っていました（スクリューパイルドライバーが出せたらまさにヒーロー）．なので馴染みやすいかなと思って例に挙げましたが…．調べると今はストリートファイター５まであるみたいですね．プレイアブルキャラは４０人（！）らしいですから，この場合は\[P(A)=\displaystyle \sum^{40}_{i=1}P(A\cap B_i)\]ですね＾＾；

条件付き確率の定義より，\[P(B|A)=\frac{P(B\cap A)}{P(A)}\]
両辺に\(P(A)\)を掛けることによって，\[P(A \cap B)=P(A)P(B|A)\]が得られます．（\(P(B \cap A)=P(A\cap B)\)としました）これを確率の乗法定理といいます．

（２本とも当たる確率）
求める確率は\(P(A\cap B)\)です．確率の乗法定理より，\(P(A \cap B)=P(A)P(B|A)\)ですから，\(P(A)\)と\(P(B|A)\)を求めましょう．\(P(A)=\frac{3}{10}\)なのは問題ないでしょう．\(P(B|A)\)を求めます．これは「１回目が当たったという事実のもとで２回目が当たる確率」なわけですが，今回は引いたくじをもとに戻しています．ですから，２回目の状況は１回目の状況となんら変化がないことになります．したがって，\(P(B|A)=\frac{3}{10}\)となります．よって，求める確率は\[P(A \cap B)=P(A)P(B|A)=\frac{3}{10}\cdot\frac{3}{10}=\frac{9}{100}\]となります．

（２回目が当たる確率）
求める確率は\(P(B)\)です．前問同様に考えます．２回目に起こりうるすべての場合の数は？２回目において１０枚のくじのどれもが同様に確からしい．よって１０通り．題意に適する場合の数は？当たり３枚のうちどれもがやはり同様に確からしい．よって３通り．したがって求める確率は，\[P(B)=\frac{3}{10}\]となります．前問と全く同じです．

さて，今回は\(P(B|A)\)，\(P(B)\)はどちらも\(\frac{3}{10}\)ですから\(P(B|A)=P(B)\)です．この，\[P(B|A)=P(B)\]が成り立つとき，事象\(A\)と事象\(B\)は独立であるといいます．この式を「翻訳」すると，「\(B\)の確率は\(A\)が起きたかどうかなんて関係ない」と，すなわち「事象\(A\)と事象\(B\)が互いに影響を及ぼしていない」と読み取ることができます．

以上の準備のもと，次の定理が成り立ちます．

高校教科書では上の話を，「２つの試行同士が互いに影響を与えない」ことを「独立」であると定義し，そのもとで確率の乗法定理（その２）を紹介しています．そしてこの話とは別の話題として（大分後になってから）「条件付き確率」から「確率の乗法定理（その２）」を導く，という順序で説明しています．なので，確率の乗法定理が２回（しかもそのあいだかなり間を挟んでから）登場することになり，それらにどのような関係があるのかがいまいち見えづらいのではないでしょうか．

しかし，上でみたように\[\text{条件付き確率の定義}\rightarrow\text{確率の乗法定理その１}\rightarrow\text{「独立」の定義}\rightarrow\text{確率の乗法定理その２}\]という流れで理解すると，高校教科書では「別々のもの」として載っている２つの確率の乗法定理が同じもの（その１を特殊化したものがその２）であることが明解で，論理的にはしっくりくると個人的に思います．

もっとも，実用上においては（実際問題を解く上では）どちらの理解でも大差はないと思いますが…

（証明）
\[
\begin{align*}
P(B_i|A)&=\frac{P(B_i\cap A)}{P(A)}&\cdots~(1)\\
&=\frac{P(B_i)P(A|B_i)}{ \sum^{\infty}_{j=1}P(A\cap B_j)}&\cdots~(2)\\
&=\frac{P(B_i)P(A|B_i)}{ \sum^{\infty}_{j=1}P(A)P(B_j|A)}&\cdots~(3)
\end{align*}
\]
\((1)\)は条件付き確率の定義そのものです．\((2)\)の分子は確率の乗法定理より，分母は全確率の定理によります．\((2)\)の分母に再び確率の乗法定理を用いると\((3)\)となります．（証明終）

この「ベイズの定理」は，証明の過程を見て貰えば分かる通り，条件付き確率の定義式を確率の乗法定理と全確率の定理を用いて変形したものに過ぎません．なので，この式は「根っこはあくまで条件付き確率の定義式だ」という認識のもと，あとは（その条件付き確率の定義式を）問題に応じて便宜変形する，というような使い方をすればよいと思います（つまり「条件付き確率」の定義を納得しており，「確率の乗法定理」と「全確率の定理」を知ってさえいればベイズの定理そのものを覚える必要はない，ということ）．

このベイズの定理を用いて，次の問題を解いてみます．早稲田大の問題です．

「抜き出された１枚がダイヤ」という事象を\(A\)，「３枚ともダイヤ」という事象を\(B\)とおきます．すると，求める確率は\(P(A|B)\)と表せます．これをベイズの定理を用いて計算してみましょう．
\[
\begin{align*}
P(A|B)&=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\\
&=\frac{P(A)P(B|A)}{P(B\cap A)+P(B\cap \overline{A})}\\
&=\frac{P(A)P(B|A)}{P(A\cap B)+P(\overline{A}\cap B)}\\
&=\frac{P(A)P(B|A)}{P(A)P(B|A)+P(\overline{A})P(B|\overline{A})}\\
&=\frac{\frac{{}_{13} \mathrm{C}_1}{{}_{54} \mathrm{C}_1}\times \frac{{}_{12} \mathrm{C}_3}{{}_{53} \mathrm{C}_3}}{\frac{{}_{13} \mathrm{C}_1}{{}_{54} \mathrm{C}_1}\times \frac{{}_{12} \mathrm{C}_3}{{}_{53} \mathrm{C}_3}+\frac{{}_{39} \mathrm{C}_1}{{}_{54} \mathrm{C}_1}\times \frac{{}_{13} \mathrm{C}_3}{{}_{53} \mathrm{C}_3}}\\
&=\frac{10}{49}
\end{align*}
\]
となります．

この定義をみても，正直しっくりこないという人は多いと思います．今回はこの条件付き確率の定義の直観的理解を目指してみようと思います．

まず，次の問題を考えてみましょう．

問題
１００人の生徒に，次の２つの質問をした．「さんまの内臓を食べるか食べないか」「エビフライのしっぽは食べるか食べないか」．すると，次のような結果を得た．この１００人の中から，１人を選び出す．このとき，次の問いに答えよ．

1. 1. 選び出された生徒が，サンマの内臓を食べる確率
   2. 選び出された生徒が，エビフライのしっぽを食べる確率
   3. 選び出された生徒が，サンマの内臓もエビフライのしっぽも食べる確率
   4. 選び出された生徒が，サンマの内臓は食べるが，エビフライのしっぽは食べない確率
   5. 選び出された生徒が「自分はサンマの内臓は食べますよ～」と発言した．このとき，その生徒がエビフライのしっぽも食べる確率

（解答）

1. 1. 表をみると全生徒\(100\)人の中でサンマの内臓を食べる人数は\(45\)人ですから，求める確率は\(\frac{45}{100}\)
   2. 表を見ると全生徒\(100\)人の中でエビフライの尻尾を食べる人数は\(67\)人ですから，求める確率は\(\frac{67}{100}\)
   3. 表を見ると全生徒\(100\)人の中でサンマの内臓もエビフライの尻尾も食べる人数は\(35\)人ですから，求める確率は\(\frac{35}{100}\)
   4. 表を見ると全生徒\(100\)人の中でサンマの内臓は食べるが，エビフライの尻尾は食べない人数は\(10\)人ですから，求める確率は\(\frac{10}{100}\)

…と簡単に求められると思います．ここまでウォーミングアップ．問題は5.です．

実際に想像してみましょう．自分の目の前に一人生徒が来た．この生徒がエビフライの尻尾を食べるかどうかを予測したい．そこで，確率を求めようと表を眺めます．この時点では選び出されたその生徒がエビフライの尻尾を食べる確率は\(\frac{67}{100}\)です．図で視覚化すると，

という感じでしょうか．この時点では確率は2.とおんなじです．

しかしここで！その生徒が「自分はサンマの内臓は食べますよ～美味しいですよね～」と喋り，我々がその発言を聞いてしまったとしましょう．すると状況は一変してしまいます．なぜなら，目の前にいる生徒が「サンマの内臓を食べない」という可能性がなくなるから，図中の内臓を食べない（内臓×）という部分が消え失せ，結果として図が下のように変化してしまう（縮んでしまう）からです．

「サンマの内臓を食べる」という発言を聞いてしまった以上，この右側の縮んでしまった図のもとで確率を考え直さねばなりません：全体の人数が\(35+10=45\)で，そのうち尻尾を食べる人数は\(35\)人ですから，求める確率は\(\frac{35}{45}\left(=\frac{7}{9}\right)\)となります．図で視覚化すると，以下のようになります．

このように，「情報が入ることで，図（全事象）が縮む」というのが理解のポイントです．

ではいよいよ上の話を数式に翻訳してみましょう．
題意の確率「『（選び出された生徒が）内臓を食べる』という情報を耳にしたとき，その生徒が尻尾も食べる確率」を\[P(\text{尻尾}|\text{内臓})\]と書くことにしましょう．この確率は，上の議論により
\[
\frac{n(\text{尻尾}\cap \text{内臓})}{n(\text{内臓})}
\]
と書けることになります（下図参照）．

したがって，\[P(\text{尻尾}|\text{内臓})=\frac{n(\text{尻尾}\cap \text{内臓})}{n(\text{内臓})}\]
さらに，分母分子を全体の人数\(n(\text{全体})(=100)\)で割ると
\[
\begin{align*}
P(\text{尻尾}|\text{内臓})&=\frac{n(\text{尻尾}\cap \text{内臓})}{n(\text{内臓})}\\
&=\frac{\frac{n(\text{尻尾}\cap \text{内臓})}{n(\text{全体})}}{\frac{n(\text{内臓})}{n(\text{全体})}}=\frac{P(\text{尻尾}\cap \text{内臓})}{P(\text{内臓})}
\end{align*}
\]
となります．したがって，
\[
P(\text{尻尾}|\text{内臓})=\frac{P(\text{尻尾}\cap \text{内臓})}{P(\text{内臓})}
\]
と書けます．さらに，「内臓（内臓を食べる）」という事象を\(A\)，「尻尾（尻尾を食べる）」という事象を\(B\)とおけば
\[
P(B|A)=\frac{P(B\cap A)}{P(A)}
\]
となり最初の定義式を得ます．

以上をまとめると，条件付き確率の定義式の直観的イメージは次のようだといえそうです：

• • 情報が入ったことで，全事象が縮んでしまう（事象\(\overline{A}\)が消え，事象\(A\)だけ残る）．
  • 縮んだあとの事象\(A\)のもとでの確率を考えることになるから，分母には\(P(A)\)がくる．
  • 分子には，事象\(\overline{A}\)が消えてしまい事象\(A\)だけに縮んでしまった，そのもとでの事象\(B\)，すなわち事象\(B\cap A\)の確率\(P(B\cap A)\)がくる．

定義式\(P(B|A)=\frac{P(B\cap A)}{P(A)}\)は上の図のイメージ，すなわち「全事象が縮んだあとの確率計算」という認識をもっておくことが直観的理解のコツ，ということです．

ちなみに，\(P(B|A)\)は高校教科書では\(P_A(B)\)と表現していることに注意してください．どちらも同じ意味で，正しい記法です．が，個人的には\(P(B|A)\)の方をおすすめします．記述の際に書きやすいし，何より気持ち的に\(A\)が\(B\)の『後側』にあることから「\(A\)が\(B\)『背景』にあるんだよ」というニュアンスが伝わりやすいからです．