（高校生へ注意）この記事を読む際は，教科書の定積分の定義は忘れて読んで下さい．一旦無の状態に戻るのが理解のポイントです．
私たちは四角形の面積なら求められます．タテ\(\times\)ヨコ．さらにここから，三角形の面積やら台形の面積やらをも求められることになります．では，下のような曲線を含む図形Aの面積はどうやって求めればいいのでしょうか．というか，何を指して曲線を含む図形Aの「面積」とすればいいのでしょうか？
下図のような\(x\)軸，\(y=f(x)\)，\(x=a\)，\(x=b\)状況を仮定した上で，次のように考えてみます：
まず，図形を分割します．何個に分割してもいいのですが，ここでは\(n\)個に分割（等分でなくともよい）することにします．\[a=x_0<x_1<x_2<x_3<\cdots<x_{n-1}<x_{n}=b\]という分割です．
次に，これら\(n\)個の図形を，長方形に近似します．区間\([x_{i-1},~x_{i}]\)において「高さ」をとる\(x\)を\(\xi_i\)とします．区間\([x_{i-1},~x_{i}]\)上のどの点\(x\)を\(\xi_i\)とするかは任意です（ちなみに\(\xi\)はギリシャ文字で「グザイ」「クシー」などと読みます）．
これらの長方形の面積を求めます．例えば左から\(i\)番目の長方形の面積なら，横幅は\(x_{i}-x_{i-1}\)です．高さは\(f(\xi_i)\)です．したがって左から\(i\)番目の長方形の面積は
\[f(\xi_i)(x_{i+1}-x_i)\]
と書けます．さらに，\(x_{i+1}-x_i=\Delta x_i\)とおけば，
\[f(\xi_i)\Delta x_i\]
と書けます．これを\(n\)個寄せ集めるのですから，敷き詰めた長方形の面積の和は
\[\sum^{n}_{i=0}f(\xi_i)\Delta x_i\]
と表されることになります．これをリーマン和と呼びます．
この「リーマン和」をもってして図形Aの「面積」とするのはどうでしょうか？…それはちょっとマズイ気がします．なぜなら，図形Aとリーマン和とではスキマ（誤差）が大きすぎますから（下図参照）．
どうすればスキマ（誤差）は小さくなるでしょうか？各長方形の幅を小さくすれば，細長い長方形になって，スキマは小さくなります．当然，スキマは小さければ小さいほど，今私たちにとって欲しいものが正確に求まりそうな気がします．各長方形の幅を小さくするには，\(n\)を大きく，すなわち分割の数を大きくしてやればいいでしょう．
式で表すと，
\[\lim_{n\rightarrow \infty}\sum^{n}_{i=0}f(\xi_i)\Delta x_i\]
これなら，図形の「面積」と呼んでも差し支えなさそうです．そこで，この極限値を図形Ａの「面積」と定義し，「定積分」と名付け，記号\[\int^b_a f(x)dx\]で表すことにします．
\(:=\)は「左辺を右辺で定義する」という意味です．
以上を見ると，\(\displaystyle \int^b_a f(x)dx\)の\(\displaystyle \int\)や\(dx\)の「イメージ」が見えてきます．右図に示すように，\(\displaystyle \sum\)が\(\displaystyle \int\)に，\(\Delta x_i\)が\(dx\)と対応しているわけです．
ここで，\(\displaystyle \sum\ f(\xi_i)\Delta x_i\)の意味を思い出しましょう．\(f(\xi_i)\)が「タテ」，\(\Delta x_i\)が「ヨコ」を表すのでしたから，\(f(\xi_i)\times\Delta x_i\)は「長方形の面積」を意味し，その長方形の面積\(f(\xi_i)\Delta x_i\)を\(\displaystyle \sum\)する（足し加える），という意味でした．
以上を踏まえて\(\displaystyle \int^b_a f(x)dx\)を眺めると，これは「微小面積\(f(x)\times dx\)を\(\displaystyle \int\)したもの（連続的に足し加えたもの）」と読み取れることが分かります！
定積分を「リーマン和の極限」とみなす捉え方は，とても自然で，記号の導入も全く違和感がありません．さらに，右図に示した記号の解釈は，定積分の問題を扱う上で極めて重要な解釈になります．
次回はこの定積分の定義に従って図形の面積を計算してみます．すると，大きな問題に直面します…．
さて次に，\(\displaystyle \int^1_0x^{p-1}(1-x)^{q-1}dx\)の積分区間\([0,~1]\)が，\([\alpha,~\beta]\)となるような置換を考えてみましょう．すなわち右のような置換です（新たな変数\(t\)としました）．この場合，どのように置換すればよいでしょうか？\(t\)が\(\alpha\)のとき\(x\)が\(0\)ですから，さしあたり\[x=t-\alpha\]という置換が思い浮かびます．しかし，\(t=\beta\)のとき\(x\)は\(\beta-\alpha\)ではなく\(1\)であってほしい．であれば，\(t-\alpha\)を\(\beta-\alpha\)で割ればいいのでは？と考え，\[\displaystyle x=\frac{t-\alpha}{\beta-\alpha}\]という置換に気付きます．置換してみましょう．\(\displaystyle dx=\frac{1}{\beta-\alpha}dt\)ですから，