合同式の有用性

数学Aの整数分野に「合同式」という話題があります.しかし,学校の授業だと時間の関係上割愛されることも多い.実際,僕も学校で授業するときは時間が一杯一杯で余裕がなく,ここはいつもとばしていました.そんなことをふと思い出したので,ちょっとこの話題について触れてみようと思います.

数学検定1級の1次の問題に,こんな問題がありました.\[23^{23^{23}}\text{の第一位の数を答えよ}\]「第一位の数を求めろ」問題の定石は,おなじみ「実験して推測しろ」なので,少し実験してみることにします.一の位の数のみに着目して計算すると,\[3\rightarrow9\rightarrow7\rightarrow1\rightarrow3\rightarrow9\rightarrow7\rightarrow1\rightarrow\cdots\]となり,\[3,9,7,1\]を繰り返していることが分かります.これはいわば繰り返しの周期が4であることを示しているので,結局,\(23\)の冪(べきと読みます)\(23^{23}\)に周期4がいくつあるか,すなわち,\[23^{23}\text{を}4\text{で割った余りはいくらか}\]という問題に帰着します.ここで,合同式を利用すると以下のように数行で終わります.\[\begin{align}23^{23}&\equiv (-1)^{23} \\&\equiv -1 \\ &\equiv 3\end{align}\]ゆえに,\[23^{23}=4\times Q+3\]したがって,求める答えは周期の前から3番目,すなわち7と分かります.かんたん!

このように合同式を学んでおくと解きづらい問題・考えづらい問題も明解に論述できることが少なくありません.というわけで,皆さんも合同式について学んでみてはいかがでしょうか.