この\(\mathfrak{O}^{(1)}\)は，（中略）また明らかに，どの\(\mathfrak{O}_\alpha\)よりも弱い位相のうちでは最も強いものである．
証明
どの\(\mathfrak{O}_\alpha\)よりも弱い位相を\(\mathfrak{O}’\)とおく．すなわち\(\forall a \in A [\mathfrak{O}’ \subset \mathfrak{O}_\alpha]\)とする．このとき，\(\mathfrak{O}^{(1)}:= \displaystyle \bigcap_{\alpha \in A}\mathfrak{O}_{\alpha} \supset \mathfrak{O}’\)である．実際，\(O \in \mathfrak{O’}\)とすれば，\(\forall a \in A [\mathfrak{O}’ \subset \mathfrak{O}_\alpha]\)により\(\forall a \in A [O \in \mathfrak{O}_{\alpha}]\)．ゆえに\(O \in \displaystyle\bigcap_{\alpha \in A}\mathfrak{O}_{\alpha}\)．したがって\(\mathfrak{O}^{(1)} \supset \mathfrak{O}’\)．
\(\mathfrak{O’}\)は（どの\(\mathfrak{O}_{\alpha}\)よりも弱い）任意の位相であったから，\(\mathfrak{O}^{(1)}\)が（どの\(\mathfrak{O}_{\alpha}\)よりも弱い位相のうちで）最も強い位相となる．
証明終