しかし，\(\mathfrak{O’} \supset \displaystyle \bigcup_{\alpha \in A} \mathfrak{O}_{\alpha}\)となるような\(\mathcal{J}\)の元\(\mathfrak{O’}\)は必ず存在するから（中略），そのような\(\mathfrak{O}’\)全部の共通部分を\(\mathfrak{O}^{(2)}\)とすれば，明らかに\(\mathfrak{O}^{(2)}\)はどの\(\mathfrak{O}_{\alpha}\)よりも強い位相で，しかもどの\(\mathfrak{O}_{\alpha}\)よりも強い位相のうちでは最も弱い位相となる．
証明
前半．\((\mathfrak{O’}_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda}\)を\(\mathfrak{O’}\supset \displaystyle \bigcup_{\alpha \in A} \mathfrak{O}_{\alpha}\)となるような\(\mathcal{J}\)の元\(\mathfrak{O’}\)から成る任意の集合族とする．\((\mathfrak{O}^{(2)}:=)\displaystyle \bigcap_{\lambda \in \Lambda} \mathfrak{O’}_{\lambda} \supset \displaystyle \bigcup_{\alpha \in A}\mathfrak{O}_{\alpha} \supset \mathfrak{O}_{\alpha}\)．なぜなら，\(O\in\displaystyle \bigcup_{\alpha \in A}\mathfrak{O}_{\alpha}\)とすれば仮定により\(\forall \lambda \in \Lambda [\mathfrak{O’}_{\lambda} \supset \displaystyle \bigcup_{\alpha \in A} \mathfrak{O}_{\alpha} \ni O]\)だから\(\displaystyle \bigcap_{\lambda \in \Lambda} \mathfrak{O’}_{\lambda} \ni O\)．よって\(\forall \alpha \in A [\mathfrak{O}^{(2)}\supset \mathfrak{O}_{\alpha}]\)．ゆえに\(\mathfrak{O}^{(2)}\)は（位相であるとすれば）どの\(\mathfrak{O}_{\alpha}\)よりも強い位相である．
次にこの\(\mathfrak{O}^{(2)}\)が位相となることを示す．
\((\mathrm{Oi})\) 任意の\(\lambda \in \Lambda\)に対して，\(\mathfrak{O’}_{\lambda}\in \mathcal{J}\)であるから，\(\phi,S \in\mathfrak{O’}_{\lambda}\)．ゆえに\(\phi,S \in \displaystyle\bigcap_{\lambda \in \Lambda}\mathfrak{O’}_{\lambda}=\mathfrak{O}^{(2)}\)
\((\mathrm{Oii})\) \(\displaystyle O_1,O_2 \in \bigcap_{\lambda \in \Lambda}\mathfrak{O’}_{\lambda}=\mathfrak{O}^{(2)}\)とする．このとき，すべての\(\lambda \in \Lambda\)に対して，\(O_1,O_2 \in \mathfrak{O’}_{\lambda}\)である．\(\mathfrak{O’}_{\lambda}\in \mathcal{J}\)であるから，\(O_1 \cap O_2 \in \mathfrak{O’}_{\lambda}\)．したがって\(O_1 \cap O_2 \in \displaystyle\bigcap_{\lambda \in \Lambda}\mathfrak{O’}_{\lambda}=\mathfrak{O}^{(2)}\)
\((\mathrm{Oiii})\) \((O_{\mu})_{\mu \in M}\)を\(\mathfrak{O}^{(2)}=\displaystyle\bigcap_{\lambda \in \Lambda}\mathfrak{O’}_{\lambda}\)の元からなる任意の集合族とする．このとき，すべての\(\lambda \in \Lambda\)に対して，\(O_\mu \in \mathfrak{O’}_{\lambda}~(\forall \mu \in M)\)である．\(\mathfrak{O’}_{\lambda} \in \mathcal{J}\)であるから，\(\displaystyle\bigcup_{\mu \in M}O_\mu \in \mathfrak{O’}_{\lambda}\)．\(\lambda\)は任意であるから，\(\displaystyle\bigcup_{\mu \in M}O_\mu \in \bigcap_{\lambda \in \Lambda}\mathfrak{O’}_{\lambda} = \mathfrak{O}^{(2)}\)．
以上により\(\mathfrak{O}^{(2)}\)は位相である．
後半．どの\(\mathfrak{O}_{\alpha}\)よりも強い位相を\(\mathfrak{O}”\)とおく．すなわち\(\forall \alpha \in A[\mathfrak{O}_{\alpha} \subset \mathfrak{O”}]\)とする．このとき，\(\displaystyle \bigcup_{\alpha \in A}\mathfrak{O}_{\alpha} \subset \mathfrak{O”}\)．ここで，\((\mathfrak{O’}_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda}\)は\(\mathfrak{O’} \supset \displaystyle \bigcup_{\alpha \in A}\mathfrak{O}_{\alpha}\)となるような\(\mathcal{J}\)の元\(\mathfrak{O’}\)から成る任意の集合族であったから，\(\mathfrak{O}” \in \{\mathfrak{O’}_{\lambda}\}_{\lambda \in \Lambda}\)．したがって\(\mathfrak{O}^{(2)}:=\displaystyle \bigcap_{\lambda \in \Lambda}\mathfrak{O’}_{\lambda} \subset \mathfrak{O”}\)．よって\(\mathfrak{O}^{(2)}\)はどの\(\mathfrak{O}_{\alpha}\)よりも強い位相のうちで最も弱い位相となる．
証明終