★P216

\(\mathbb{R}^n\)の部分集合\(M\)は,それが\(\mathbb{R}^n\)のある球体\(B(a;\epsilon)\)に含まれるとき,有界であると言われる.これは,\(M\)が\(\mathbb{R}^n\)のある開区間(あるいは閉区間)に含まれることといっても,明らかに同じことである.

 

証明

示すべきことは\[\exists \epsilon >0 [M \subset B(a;\epsilon)] \Longleftrightarrow M \subset \text{開区間(となる開区間が存在)}\]である.\(B(a;\epsilon)=\{x|x\in\mathbb{R}^n,d(a,x)<\epsilon\}\).

必要性.\(x \in M\)を任意にとる.このとき,仮定により\(d(a,x)<\epsilon\)である.
\begin{align*}
d(a,x)<\epsilon \Longleftrightarrow &\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-a_i)^2}<\epsilon\\
\Longleftrightarrow &(x_1-a_1)^2+\cdots+(x_n-a_n)^2<\epsilon^2\\
\Longrightarrow &(x_i-a_i)^2<\epsilon^2~(i=1,\cdots,n)\\
\Longleftrightarrow &|x_i-a_i|<\epsilon~(i=1,\cdots,n)\\
\Longleftrightarrow &x\in\text{開区間}
\end{align*}

十分性.\(M\subset\{x=(x_1,\cdots,x_n)|a_i < x_i < b_i~(i=1,\cdots,n)\}\)とする.\(x=(x_1,\cdots,x_n)\in M\)とすると,\(a_i < x_i < b_i(i=1,\cdots,n)\)が成り立つ.\(\max\{b_1-a_1,\cdots,b_n-a_n\}\)より大きい\(\epsilon^{\prime}\)をとる.この\(\epsilon^{\prime}\)に対して,
\begin{align*}
d(a,x)= &\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-a_i)^2}=\sqrt{(x_1-a_1)^2+\cdots (x_n-a_n)^2}\\
<&\sqrt{(b_1-a_1)^2+\cdots (b_n-a_n)^2}\\
\leq &|b_1-a_1|+\cdots |b_n-a_n| \\
= &(b_1-a_1)+\cdots (b_n-a_n) < n\epsilon^{\prime}
\end{align*}

この\(n\epsilon^{\prime}\)より大きい\(\epsilon\)をとればよい.

証明終

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