★明らかに?

数学の本を読んでいるとよく見る言い回し「明らかに…」「直ちに…」「…は容易に示される」

…全然「明らか」じゃないし「直ちに」求まらないし「容易に」示せないんですけど!!

\(\mathbb{R}^n\)の任意の開球体\(B(x;\epsilon)\)は凸集合である.

 

ああ?(怒)

…まず準備.開球体の定義は,

\(x\in \mathbb{R}^n\)に対して,
\[B(x;\epsilon)=\{y \in \mathbb{R}^n|d(x,y)<\epsilon\}\]ただし,\(d(x,y)=\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i)^2}\)

線分\(\overline{ab}\)の定義は,

\(a,b\in\mathbb{R}^n\)に対して,集合\[\{y\in \mathbb{R}^n|y=(1-t)a+tb,~0\leq t \leq 1\}\]を\(a,b\)を結ぶ線分といい,\(\overline{ab}\)で表す.

凸集合の定義は,

\(\mathrm{M}\)を\(\mathbb{R}^n\)の部分集合とするとき,\(\mathrm{M}\)が
\[a,b\in\mathrm{M} \Longrightarrow \overline{ab}\subset M\]をみたすとき,\(\mathrm{M}\)を凸集合という.

したがって,
\[a,b\in B(x;\epsilon) \Longrightarrow \overline{ab}\subset B(x;\epsilon)\]
を証明すればよい.やってみます.

証明
\[a,b\in B(x;\epsilon) \Longrightarrow \overline{ab}\subset B(x;\epsilon)\]が示されればよい.まず,仮定は
\[
\begin{align*}
a,b\in B(x;\epsilon)\Longleftrightarrow~&d(x,a)<\epsilon,d(x,b)<\epsilon\\
\Longleftrightarrow~&\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_i-a_i)^2} < \epsilon,\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_i-b_i)^2} < \epsilon
\end{align*}
\]結論は
\[
\begin{align*}
&\overline{ab}\subset B(x;\epsilon)\\
\Longleftrightarrow~&c \in \overline{ab} \Rightarrow c \in B(x;\epsilon)\\
\Longleftrightarrow~&c \in \{y\in \mathbb{R}^n|y=(1-t)a+tb,~0\leq t \leq 1\} \Rightarrow c \in \{y \in \mathbb{R}^n|d(x,y)<\epsilon\}\\
\Longleftrightarrow~&c=(1-t)a+tb,~0\leq t \leq 1 \Rightarrow d(x,c)<\epsilon\\
\Longleftrightarrow~&c=(1-t)a+tb,~0\leq t \leq 1 \Rightarrow \sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_i-c_i)^2} < \epsilon
\end{align*}
\]だから結局,示すべきことは
\[\begin{cases}\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_i-a_i)^2} < \epsilon,\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_i-b_i)^2} < \epsilon \\ c=(1-t)a+tb \\ 0\leq t \leq 1\end{cases}\Longrightarrow \sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_i-c_i)^2} < \epsilon\]であることが分かる.
\[
\begin{align*}
\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_i-c_i)^2}=&\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_i-(1-t)a_i-tb_i)^2}&\text{(ア)}\\
=&\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\left((1-t)(x_i-a_i)+t(x_i-b_i)\right)^2}\\
\leq &\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}((1-t)(x_i-a_i))^2}+\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(t(x_i-b_i))^2}&\text{(イ)}\\
= &(1-t)\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_i-a_i)^2}+t\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-b_i)^2}&\text{(ウ)}\\
< &(1-t)\epsilon+t\epsilon=\epsilon &\text{(エ)}
\end{align*}
\]
(イ)はコーシーシュワルツの不等式,(ア)(ウ)(エ)は仮定による.(証明終)

「容易に」とか「明らかに」とか言われてそこの理解に時間かかったりあるいは理解できなかったりすると,こういうのが「容易に」「明らかに」理解できるレベルじゃなければあまり関わってはいけない世界なのかなと思って凹む….が,それでも執念深く続けていればまた見える世界が変わってくるのかな?とも思います.頑張ろうっと.

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