基本ベクトルの外積

同じ基本ベクトル同士の外積は,\(\overrightarrow{0}\)になります.なぜなら,同じベクトルですからその2つのベクトルが作る平行四辺形の面積は0であるから,外積の大きさも0(外積の定義ⅲを参照),したがって\(\overrightarrow{0}\)です.

異なる基本ベクトル同士の外積ならどうでしょうか.たとえば,\(\overrightarrow{e_1}\times\overrightarrow{e_2}\)を考えてみます.

\(\overrightarrow{e_1}\times\overrightarrow{e_2}\)とは,外積の定義ⅰとⅱにより,図1に示す赤いベクトルであるといえます.さらに,\(\overrightarrow{e_1}\)と\(\overrightarrow{e_2}\)が作る平行四辺形は,正方形ですから,その面積は\(1\times1=1\)です.したがって,先ほどの赤いベクトル\(\overrightarrow{e_1}\times\overrightarrow{e_2}\)の大きさは\(1\)である,と言えます(図2参照).

以上により,\(\overrightarrow{e_1}\times\overrightarrow{e_2}\)は上の図の赤いベクトルで,しかもその大きさは\(1\)であることが分かります.このベクトルはほかならぬ\(\overrightarrow{e_3}\)ですね.同様に考え,\(\overrightarrow{e_1}\times\overrightarrow{e_3}\)や\(\overrightarrow{e_3}\times\overrightarrow{e_2}\)なども導出できます.

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