「すべて」「存在する」の否定

以下,\(x\in \{x_1,~x_2,~x_3,\cdots ,x_n\}\)とする.

\(\overline{\forall x~p(x)} \Longleftrightarrow \exists x~\overline{p(x)}\)

証明

\[
\begin{align*}
&\overline{\forall x~p(x)}\\
\Longleftrightarrow~&\overline{p(x_1)\land p(x_2)\land p(x_2)\land \cdots \land p(x_n)}\\
\Longleftrightarrow~&\overline{p(x_1)}\lor \overline{p(x_2)}\lor \overline{p(x_2)}\lor \cdots \lor\overline{p(x_n)}\\
\Longleftrightarrow~&\exists x~\overline{p(x)}&\textbf{(証明終)}
\end{align*}
\]

\(\overline{\exists x~p(x)} \Longleftrightarrow \forall x~\overline{p(x)}\)

証明

\[
\begin{align*}
&\overline{\exists x~p(x)}\\
\Longleftrightarrow~&\overline{p(x_1)\lor p(x_2)\lor p(x_2)\lor \cdots \lor p(x_n)}\\
\Longleftrightarrow~&\overline{p(x_1)}\land \overline{p(x_2)}\land \overline{p(x_2)}\land \cdots \land\overline{p(x_n)}\\
\Longleftrightarrow~&\forall x~\overline{p(x)}&\textbf{(証明終)}
\end{align*}
\]

\(\forall\)(すべての)を否定すると\(\exists\)(存在する)となり,\(\exists\)(存在する)を否定すると\(\forall\)(すべての)となります.