★上に有界で単調増加な数列は収束する

証明

上に有界であるから，上界が存在し，したがって上限（最小の上界）が存在する（なぜ？）．この上限を\(c\)とおき，この\(c\)に収束することを以下に示す．

任意の\(\epsilon>0\)に対して，\(c-\epsilon\)を考える．今，\(c\)が上限，すなわち最小の上界であるから，\(c-\epsilon\)はもはや上界ではない．したがって，\(c-\epsilon\)より大きく\(c\)以下の項（☆）が存在する．
\[a_1\leq a_2 \leq a_3 \leq \cdots \leq a_n \leq \cdots \leq c-\epsilon < \text{（☆）} \leq c\]
（☆）の項たちを
\[a_N \leq a_{N+1} \leq a_{N+2} \leq \cdots\]
とおく．すると，
\[c-\epsilon < a_N \leq a_{N+1} \leq a_{N+2} \leq \cdots \leq c < c+\epsilon \]
すなわち，\(N\)以上の\(i\)について
\[|a_{i}-c|<\epsilon\] が成り立つ．また，この\(N\)は，\(\epsilon\)に応じて定まる（存在する）ので，結局 \[\forall \epsilon>0 \exists N \big[i > N \Longrightarrow |a_{i}-c|<\epsilon\big]\]
と言える．したがって
\[\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=c\]
よって数列\(\{a_n\}\)は収束する．（証明終）