上の\((\mathrm{iii})\)は明らかに次のように述べかえられる．
\((\mathrm{iii})’\)\(x_0\)の\(S\)の任意の点，\(\epsilon\)を任意の正の実数とするとき，\(x_0\)の適当な近傍\(V\)をとれば，\(V\)に属するすべての点\(x\)に対して\[|f(x)-f(x_0)|<\epsilon\]が成り立つ．
\(x_0\)の\(S\)の任意の点，\(\epsilon\)を任意の正の実数とする．
\begin{align*}
V’ \in \mathbb{V}_{\mathbb{R}}(f(x_0))\Longrightarrow~&f^{-1}(V’) \in \mathbb{V}_{S}(x_0)\\
\Longleftrightarrow~&f^{-1}((f(x_0)-\epsilon,f(x_0)+\epsilon)) \in \mathbb{V}_{S}(x_0)\\
\Longleftrightarrow~&\{x | x \in S, f(x_0)-\epsilon < f(x) < f(x_0)+\epsilon\}\in \mathbb{V}_{S}(x_0)\\
\Longleftrightarrow~&\{x | x \in S, |f(x) – f(x_0)| < \epsilon\}\in \mathbb{V}_{S}(x_0)&(\mathrm{iii})\\
\Longleftrightarrow~&\exists V \in \mathbb{V}_{S}(x_0)[x \in V \Rightarrow |f(x) – f(x_0)| < \epsilon]&(\mathrm{iii})’
\end{align*}
証明
\((\mathrm{iii})\Leftarrow(\mathrm{iii})’\)
仮定により，\begin{align*}
&x \in V \Rightarrow |f(x)-f(x_0)| < \epsilon\\
\Longleftrightarrow~&x \in V \Rightarrow |f(x)-f(x_0)| < \epsilon \land x \in S &(\text{なぜなら}V \in \mathbb{V}_S(x_0))\\
\Longleftrightarrow~&x \in V \Rightarrow x \in \{x | |f(x)-f(x_0)| < \epsilon \land x \in S\}\\
\Longleftrightarrow~&V \subset \{x | |f(x)-f(x_0)| < \epsilon \land x \in S\}
\end{align*}\(V \in \mathbb{V}_S(x_0)\)であるから，P161定理\(10(\mathrm{Vii})\)により\(\{x | |f(x)-f(x_0)| < \epsilon \land x \in S\} \in \mathbb{V}_S(x_0)\)．
\((\mathrm{iii})\Rightarrow (\mathrm{iii})’\)
仮定の\(\{x | x \in S, |f(x) – f(x_0)| < \epsilon\}\in \mathbb{V}_{S}(x_0)\)が結論で示すべき\(V\)である．実際，\(x \in \{x | x \in S, |f(x) – f(x_0)| < \epsilon\}\)とすれば，\(x \in S\)かつ\(|f(x)-f(x_0)|<\epsilon\)すなわち\(|f(x)-f(x_0)|<\epsilon\)が言える．
証明終