存在を追え！
証明
（\(\Rightarrow\)）
\(A\)が整列集合で，\(A\)において降鎖が存在すると仮定する．このとき，\(A\)の元の列\((a_n)_{n\in\mathbb{N}}\)で，\[a_1>a_2>\cdots>a_n>\cdots\]となるものが存在するが，\(\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}\)には最小元が存在せず，矛盾である．
（\(\Leftarrow\)）
\(A\)が整列集合でないならば\(A\)において降鎖が存在することを示す（対偶）．
仮定により，\(A\)は整列集合でないから
\begin{align*}
\neg (A\text{が整列集合})\Longleftrightarrow~&\neg (\text{空でない任意の部分集合が最小元をもつ})\\
\Longleftrightarrow~&\neg (M\neq \phi,M \subset A \Rightarrow M\text{は最小元をもつ})\\
\Longleftrightarrow~&\exists M[M\neq \phi,M \subset A, M\text{は最小元をもたない}\cdots (\ast)]
\end{align*}
\begin{align*}
\neg (M\text{が最小元をもつ})~\Longleftrightarrow~&\neg(\exists a\in M \forall x \in M [a\leq x])\\
\Longleftrightarrow~&\forall a\in M \exists x \in M [x < a]\cdots(\ast\ast)\\
\end{align*}
したがって\((\ast)\)を満たす\(M\)が存在する．この\(M\)の任意の元\(a\)に対して，\((\ast\ast)\)により，\( x <a\)となる\(x\in M\)が存在する．そこで，\(M\)の元を任意に\(1\)つとり（これを\(a_1\)とおく），それに応じて定まる（\(x <a_1\)を満たす）\(x\in M\)を\(a_2\)とおくと\[a_2 < a_1\]となる．さらにこの\(a_2\in M\)に対して，再び\((\ast\ast)\)により，上と同様に\(x < a_2\)となる\(x \in M\)が存在する．これを\(a_3\)とおけば，\[a_3 < a_2\]が成り立つ．これを繰り返して\(A\)の元の列\((a_n)_{n\in \mathbb{N}}\)を定めれば，これが示すべきものとなる．
証明終
\(\overline{a+b=c\text{日本語入力するとなんかはみ出すので，}}\)
なので上では\(\neg\)を使いました。