\(x\)を１つの基本近傍系\(\mathbb{V}^*(x)\)を知れば，それから直ちに，\(x\)の（全）近傍系\(\mathbb{V}^*(x)\)を求めることができる．実際，定義から明らかに\(\mathbb{V}^*(x)\)はある\(U\in\mathbb{V}^*(x)\)を含むような\(S\)の部分集合全体から成る集合系となるからである：\[\mathbb{V}(x)=\{V|\exists U \in \mathbb{V}^*(x)(U \subset V)\}\]
証明
\(\mathbb{V}(x) \subset \{V|\exists U \in \mathbb{V}^*(x)(U \subset V)\}\)であること：
\begin{align*}
\text{\(\mathbb{V}^*(x)\)が\(x\)の基本近傍系}\Longleftrightarrow~&\forall V \in \mathbb{V}(x) \exists U \in \mathbb{V}^*(x)[U \subset V]\\
\Longleftrightarrow~&\forall V [V \in \mathbb{V}(x) \rightarrow \exists U \in \mathbb{V}^*(x)[U \subset V]]\\
\Longleftrightarrow~& V \in \mathbb{V}(x) \Rightarrow \exists U \in \mathbb{V}^*(x)[U \subset V]\\
\Longleftrightarrow~& \mathbb{V}(x) \subset \{V|\exists U \in \mathbb{V}^*(x)[U \subset V]\}
\end{align*}
\(\{V|\exists U \in \mathbb{V}^*(x)(U \subset V)\} \subset \mathbb{V}(x)\)であること：
\(V \in \{V|\exists U \in \mathbb{V}^*(x)[U \subset V]\}\)を任意にとる．このとき\(\exists U \in \mathbb{V}^*(x)[U \subset V]\)．\(\mathbb{V}^*(x)\)は基本近傍系であるから，その定義により\(\mathbb{V}^*(x) \subset \mathbb{V}(x)\)．よって\(U \in \mathbb{V}(x)\)．また\(U \subset V\)であるから，定理\(10(\mathbf{V}\mathrm{ii})\)により\(V \in \mathbb{V}(x)\)．したがって\(\{V|\exists U \in \mathbb{V}^*(x)(U \subset V)\} \subset \mathbb{V}(x)\)．
以上により\[\mathbb{V}(x)=\{V|\exists U \in \mathbb{V}^*(x)(U \subset V)\}\]
証明終