教科書では「研究」「発展」などに分類され，端っこの方に追いやれている話題です．授業でも扱わないことが多いので，無視して先に進む人も多いと思いますが，これは実はとても面白い話題です．今回はこの話題について触れてみます．
Ａさんを自分に置き換えて考えてみましょう．検査を受けたら「要精密検査」で，実際にがんの人が要精密検査とされる確率が\(90\%\)と言われたら，「ああ自分はがんなんだ…」と考え落ち込むのではないでしょうか．が，落ち着むのは尚早です．今置かれた状況をよく見ると「『要精密検査』という結果が与えられたときの，実際にがんである確率」ですから，これは条件付き確率です．では，実際に計算して自分ががんである確率を求めてみましょう！（注意：条件付き確率とベイズの定理についての知識が必要になります．未習の人はこれらの記事を先に読んでみてください．）条件付き確率の定義より，
\[P(\text{実際にがん}|\text{要精密検査})=\frac{P(\text{実際にがん}\cap\text{要精密検査})}{P(\text{要精密検査})}\]
まず，分子から求めてみます．確率の乗法定理より，
\[P(\text{実際にがん}\cap\text{要精密検査})=P(\text{実際にがん})P(\text{要精密検査}|\text{実際にがん})\]
です．問題文より，
\[P(\text{実際にがん})=\frac{1}{1000},\quad P(\text{要精密検査}|\text{実際にがん})=\frac{90}{100}\]
です．ですから分子は\[\frac{1}{1000}\times\frac{90}{100}\]となります．
次に分母．\(P(\text{要精密検査})\)つまり「『要精密検査』とされる確率」です．「『要精密検査』とされる」という状況には２通りあります．すなわち，
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- 「実際にがんで，『要精密検査』」
- 「実際にはがんではないのに，『要精密検査』」
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という２通りの場合です．それぞれ
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- \(P(\text{実際にがん}\cap \text{要精密検査})\)
- \(P(\text{実際はがんではない}\cap \text{要精密検査})\)
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と表されますから，結局分母は\[P(\text{実際にがん}\cap \text{要精密検査})+P(\text{実際はがんではない}\cap \text{要精密検査})\]と表されます（全確率の定理）．さらに，確率の乗法定理より，この式は
\[P(\text{実際にがん})P(\text{要精密検査}|\text{実際にがん})+P(\text{実際はがんではない})P(\text{要精密検査}|\text{実際はがんではない})\]と表されます．前の項は前半で求めました．\(\frac{1}{1000}\times \frac{90}{100}\)．後ろの項は，問題文より，
\[P(\text{実際はがんではない})=\frac{999}{1000},\quad P(\text{要精密検査}|\text{実際はがんではない})=\frac{10}{100}\]ですから\(\frac{999}{1000}\times\frac{10}{100}\)．ですから分母は
\[\frac{1}{1000}\times \frac{90}{100}+\frac{999}{1000}\times\frac{10}{100}\]となります．したがって，求める確率\(P(\text{実際にがん}|\text{要精密検査})\)は，
\[
\begin{align*}
P(\text{実際にがん}|\text{要精密検査})&=\frac{\frac{1}{1000}\times\frac{90}{100}}{\frac{1}{1000}\times \frac{90}{100}+\frac{999}{1000}\times\frac{10}{100}}\\
&=\frac{1\times 90}{1\times 90 +999\times 10}\\
&=\frac{9}{9+999}\\
&=\frac{1}{112}\approx 0.00893
\end{align*}
\]となります．なんと，「要精密検査」と言われ実際にがんである確率はたったの\(0.00893\)，つまり\(1\%\)にも満たない，ということです！
このように，確率は時として人間の直感を大きく裏切ります．しかし，論理によってはじき出された結果である以上，人間の感情としてどう感じようとそれは受け入れざるを得ない．そこが数学の面白さ・頼もしさのひとつだと思います．