意味：
\(M\)個のボールと\(N-M\)個の白いボールが入っている壺の中から\(K\)個のボールを無作為に非復元抽出で抽出する．赤いボールの個数が\(X\)であったとするとき，この\(X\)が従う分布．
確率分布：
\[P(X=x | N,M,K)=\frac{\left(\begin{array}{c} M \\ x \\ \end{array} \right)\left(\begin{array}{c} N-M \\ K-x \\ \end{array} \right)}{\left(\begin{array}{c} N \\ K \\ \end{array} \right)},\quad x=0,1,\cdots,K\]
また，
\[\displaystyle \sum_{x=0}^{K}P(X=x | N,M,K)=1 \tag{1}\]
平均：
\[\displaystyle E[X]=\frac{KM}{N} \tag{2}\]
分散：
\[\displaystyle Var[X]=\frac{N-K}{N-1}K\frac{K}{N}\left(1-\frac{M}{N}\right) \tag{3}\]
\((1)\)の証明
天下りではあるがここで\((a+b)^N=(a+b)^M(a+b)^{N-M}\)の両辺を展開し，その第\(K\)項の係数を比較する．
\[
\begin{align}
\text{左辺}=&(a+b)^N\\
=&a^0b^N {}_N \mathrm{C} _0 + a^1b^{N-1} {}_N \mathrm{C} _{N-1} + \cdots + a^Kb^{N-K} {}_N \mathrm{C} _K + \cdots + a^Nb^0 {}_N \mathrm{C} _{N}
\end{align}
\]
よって左辺第\(K\)項の係数は\({}_N \mathrm{C} _K=\left(\begin{array}{c} N \\ K \\ \end{array} \right)\)．
\[
\begin{align}
\text{左辺}=&(a+b)^M(a+b)^{N-M}\\
=&(a^0b^M {}_M \mathrm{C} _0 + a^1b^{M-1} {}_M \mathrm{C} _1 + \cdots + a^Kb^{M-K} {}_M \mathrm{C} _K + \cdots + a^Mb^0 {}_M \mathrm{C} _{M})\\
&\times (a^0b^{N-M} {}_{N-M} \mathrm{C} _0 + a^1b^{(N-M)-1} {}_{N-M} \mathrm{C} _1 + \cdots + a^Kb^{(N-M)-K} {}_{N-M} \mathrm{C} _K + \cdots + a^Mb^0 {}_{N-M} \mathrm{C} _{N-M})
\end{align}
\]
この式を展開したときの第\(K\)項の係数は，
左の因数から\(a^0b^M {}_M \mathrm{C} _0\)を選び，右の因数から\(a^K b^{(N-M)-K} {}_{N-M}\mathrm{C} _K\)を選び，それらを掛け合わせたもの
左の因数から\(a^1b^{M-1} {}_{M} \mathrm{C} _1\)を選び，右の因数から\(a^{K-1}b^{(N-M)-(K-1)} {}_{N-M}\mathrm{C} _{K-1}\)を選び，それらを掛け合わせたもの
…
左の因数から\(a^Kb^{M-K} {}_M \mathrm{C} _K\)を選び，右の因数から\(a^0b^{N-M} {}_{N-M}\mathrm{C} _0\)を選び，それらを掛け合わせたもの
を足し加えることで，
\[
\begin{align}
&{}_M \mathrm{C} _0 {}_{N-M} \mathrm{C} _{K} + {}_M \mathrm{C} _1 {}_{N-M} \mathrm{C} _{K-1} + \cdots + {}_M \mathrm{C} _K {}_{N-M} \mathrm{C} _{0}\\
=& \displaystyle \sum_{x=0}^{K} {}_M \mathrm{C} _x {}_{N-M} \mathrm{C} _{K-x}\\
=& \displaystyle \sum_{x=0}^{K} \left(\begin{array}{c} M \\ x \\ \end{array} \right)\left(\begin{array}{c} N-M \\ K-x \\ \end{array} \right)
\end{align}
\]
となる．したがって，
\[\displaystyle \sum_{x=0}^{K} \left(\begin{array}{c} M \\ x \\ \end{array} \right)\left(\begin{array}{c} N-M \\ K-x \\ \end{array} \right)=\left(\begin{array}{c} N \\ K \\ \end{array} \right)\]
を得る．両辺を\(\left(\begin{array}{c} N \\ K \\ \end{array} \right)\)で割ることで
\[\displaystyle \sum_{x=0}^{K} \frac{\left(\begin{array}{c} M \\ x \\ \end{array} \right)\left(\begin{array}{c} N-M \\ K-x \\ \end{array} \right)}{\left(\begin{array}{c} N \\ K \\ \end{array} \right)}= 1\]
すなわち
\[\displaystyle \sum_{x=0}^{K}P(X=x | N,M,K)=1\]（証明終）