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円と放物線が共有点をもつときの\(k\)の範囲を\(\mathcal{D}\)とおく．
\begin{align*}
&k\in\mathcal{D}\\
\Longleftrightarrow~ &\exists x \exists y \begin{cases}x^2+y^2=4 \\ y=x^2+k\end{cases}\\
\Longleftrightarrow~ &\exists x \exists y \begin{cases}x^2+y^2=4 \\ y=(4-y^2)+k\end{cases}\\
\Longleftrightarrow~ &\exists x \exists y \begin{cases}x^2=4-y^2 \\ y^2+y-4-k=0\end{cases}\\
\Longleftrightarrow~ &\exists y\left[\exists x [x^2=4-y^2] \land y^2+y-4-k=0 \right]\\
\Longleftrightarrow~ &\exists y\left[-2 \leq y \leq 2 \land y^2+y-4=k \right]\\
\Longleftrightarrow~ &\exists y\left[-2 \leq y \leq 2 \land \left(y+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{17}{4}=k \right]\\
\Longleftrightarrow~ &-\frac{17}{4} \leq k \leq 2 \tag{\(\ast\)}
\end{align*}
\((2)~\)上の結果と下図から，接するとき，\(k=\pm 2\)または\(k=-\frac{17}{4}\)．

\((1)~\)\((2)\)の考察と上図から，異なる\(4\)つの共有点をもつとき，\(-\frac{17}{4} < k < -2\)．

\((\ast)\)の考察は下図による（文字定数は分離せよ，の方針）．

\(\rm(i\hspace{-.08em}i\hspace{-.08em}i)\)のとき．
\begin{align*}
&\text{円と放物線が接する}\\
\overset{def}{\Longleftrightarrow}~&\text{円と放物線が\(1\)点\(\mathrm{T}\)を共有し，点\(\mathrm{T}\)における両者の接線が一致する}\\
\Longleftrightarrow~&\text{放物線上の点\(\mathrm{T}\)を通り，その点における接線に垂直な直線が円の中心を通る}\\
\end{align*}
であることに着目する．\(\mathrm{T}(t,t^2+k)\)とおく．放物線上の点\(\mathrm{T}\)を通り，その点における接線に垂直な直線の方程式は\((t^2+k)’=2t\)であることから
\[y-(t^2+k)=-\frac{1}{2t}(x-t)\]
とかける．これが原点を通るから，
\[0-(t^2+k)=-\frac{1}{2t}(0-t) \Longleftrightarrow t^2=-k-\frac{1}{2}\]
これを満たす\(t\)が存在すればよいから（点\(\mathrm{T}\)は円上の点であることにも注意して），
\begin{align*}
&\exists t\begin{cases}t^2+(t^2+k)^2=4 \\ t^2=-k-\frac{1}{2}\end{cases}\\
\Longleftrightarrow~& \exists t\begin{cases}\left(-k-\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{4}=4 \\ t^2=-k-\frac{1}{2}\end{cases}\\
\Longleftrightarrow~& \exists t\begin{cases}k=-\frac{17}{4}\\ t^2=-k-\frac{1}{2}\end{cases}\\
\Longleftrightarrow~& \exists t\left[k=-\frac{17}{4} \land t^2=\frac{15}{4}\right]\\
\Longleftrightarrow~& k=-\frac{17}{4} \land \exists t\left[t^2=\frac{15}{4}\right]\\
\Longleftrightarrow~& k=-\frac{17}{4}
\end{align*}

「円と放物線」の定番問題です．多くの解答では「重解条件」を用いていますが，どこか気持ち悪い．「重解条件」を使わない解法について見てみます．

\((2)\)別解

図により，
\[\text{接する}~\Longleftrightarrow \rm(\hspace{.18em}i\hspace{.18em})\text{または}\rm(\hspace{.08em}ii\hspace{.08em})\text{または}\rm(i\hspace{-.08em}i\hspace{-.08em}i)\]である．

\(\rm(\hspace{.18em}i\hspace{.18em})\)のとき，図より明らかに\(k=2\)．逆も成り立つ．

\(\rm(\hspace{.08em}ii\hspace{.08em})\)のとき，図より明らかに\(k=-2\)．逆も成り立つ．

\(\rm(i\hspace{-.08em}i\hspace{-.08em}i)\)のとき．
\(y=x^2+k\)上の点を\(P(s,s^2+k)\)とおく．線分\(OP\)を調べる．
\begin{align*}
OP^2=&s^2+(s^2+k)^2\\
=&t+(t+k)^2&(s^2=t\text{とおいた})\\
=&t^2+(2k+1)t+k^2\\
=&\left(t+k+\frac{1}{2}\right)^2-k-\frac{1}{4}&(t\geq 0)\\
\end{align*}
図より\(k<-2\)であるから\[-k-\frac{1}{2} > \frac{3}{2}\]
であることに注意すると，\(OP^2\)の最小値は\(-k-\frac{1}{4}\)．これが円の半径\(2\)と一致するとき，かつそのときに限り円と放物線は\(\rm(i\hspace{-.08em}i\hspace{-.08em}i)\)のように接する．したがって
\[\sqrt{-k-\frac{1}{4}}=2\Longleftrightarrow k=-\frac{17}{4}\]
以上により求める条件は\(k=\pm 2\)または\(k=-\frac{17}{4}\)となる．

\(\ast\)　　　　\(\ast\)　　　　\(\ast\)

（\(\rm(i\hspace{-.08em}i\hspace{-.08em}i)\)の別解はこちら）