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教科書では，この公式の下で，次のような問題と解答を用意しています．

\(x^2+1=u\)とおくと\(2xdx = du\)

\begin{align*}
\displaystyle \int x \sqrt{x^2+1}dx &= \frac{1}{2}\int \sqrt{x^2+1}\cdot 2x dx\\
\displaystyle &= \frac{1}{2}\int \sqrt{u} du=\cdots\\
\displaystyle &=\frac{1}{3}(x^2+1)\sqrt{x^2+1}+C
\end{align*}

引用元：『高等学校　数学Ⅲ』数研出版

置換してますね．

ところで，\(\int f(u) du\)って\(f(u)\)の原始関数なんだから，上の公式は
\begin{align*}
\displaystyle \int f(g(x))g'(x) dx&=\int f(u) du \quad\text{ただし，}g(x)=u\\
\displaystyle &=F(u) + C\quad\text{ただし，}g(x)=u\\
\displaystyle &=F(g(x)) + C\\
\end{align*}

と変形して，

とも書けますね．というか，これを公式としたほうが良くない…？そうすれば「被積分関数が\(f(g(x))g'(x)\)という形をしていれば，\(f(\quad)\)の原始関数を求めて，その’中身’である\(g(x)\)をそのまま放り込めばいい」という簡単な使い方に変わると思うんですが…．

あと教科書の解説だと全ッ然強調してないのですが，この公式が使えることにそもそもどうやって気付くのか？が実用（受験）上では極めて重要です．たとえこの公式を知識として持っていても気付かなければ使おうという発想に至りませんからね．気付くためのポイントは被積分関数に\(g(x)\)と\(g'(x)\)という二人がいるかどうか？です．この「\(g,~g’\)」が見つかったら，まずこの公式のタイプだと思って間違いないでしょう．そして見つかった\(g(x)\)と\(g'(x)\)のうち，\(g(x)\)を\(X\)などとおいて浮かび上がってくる関数が\(f(X)\)です．そしてその\(f(X)\)の原始関数（の１つ）さえ見つけらればこの積分計算はそれで終わりです．

上の例でやってみましょう．\(x^2+1\)と\(x\)の間にその\(g,~g’\)関係がありそうですね．でも惜しいことに\(x^2+1\)を微分すると\(2x\)です．今あるのは\(x\)だからちょっと違う．まあでも，係数の違いは微調整して\(x=\frac{1}{2}\cdot 2x\)と思っておけばいいでしょう．これで\(g(x)\)が見つかりました．これを\(X\)とおいてその部分を眺めてみましょう．すると\(\sqrt{X}=X^{\frac{1}{2}}\)となります．これが知りたかった\(f(X)\)です．あとはこれの原始関数（の１つ）を求めればいい．\[\frac{1}{\frac{1}{2}+1}X^{\frac{1}{2}+1}=\frac{2}{3}X^{\frac{3}{2}}\]
あとは\(\frac{2}{3}(\quad)^{\frac{3}{2}}\)にもともとあった\(g(x)=x^2+1\)を放り込んで\(\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}(x^2+1)^{\frac{3}{2}}\)．たったこれだけで終了．置換などする必要がない．ちなみに先頭の\(\frac{1}{2}は\)先ほど\(g'(x)\)を\(\frac{1}{2} \cdot 2x\)と微調整しておいてときの\(\frac{1}{2}\)です．以上解答としてまとめると

\begin{align*}
\displaystyle \int x \sqrt{x^2+1}dx &= \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}(x^2+1)^{\frac{3}{2}}+C\\
&= \frac{1}{3}(x^2+1)^{\frac{3}{2}}+C
\end{align*}

ほぼ一行で終わります．「\(f,g,g’\)」タイプにおいてすべきことは\(f(\quad)\)を見つけ出しその原始関数（の１つ）を求めるだけです．教科書のようにダラダラと置換してはいけません．

高校教科書では，定積分を次のように定義しています．

そして，数学Ⅱまたは数学Ⅲで積分を既習の人はこの定積分を計算することによって「面積が求まる」ということも知っていると思います．

しかし，ここでひとつ疑問．なぜ定積分で面積が求まるのでしょうか？定積分の定義は上に示したようにあくまで「原始関数の差を『定積分』と呼ぶことにしましょう」と言っているに過ぎず，「面積」云々には一切触れていません．つまり（定積分の「定義」から）「面積が求まる」ということが「定理」として得られるはずですが，その理由はどこにあるのでしょうか？その辺を理解しないままにただただ計算している人も多いのではないでしょうか．

調べてみましょう．

今，\(y=f(x),~x\leq k,~y=0\)で示される部分の面積を\(S(k)\)と表すことにします．

すると，\(y=f(x),~x=x_1,~x=x_2,~y=0\)で囲まれる部分の面積は，\[S(x_2)-S(x_1)\]で表されることになります．

この斜線部分の面積を評価することを考えます．斜線部分の面積\(S(x_2)-S(x_1)\)は，区間\([x_1,~x_2]\)の幅\(x_2-x_1\)を「ヨコ」，区間\([x_1,~x_2]\)で一番大きい\(y\)の値\(f(x_{max})\)を「タテ」としたときの長方形の面積\((x_2-x_1)f(x_{max})\)より小さく，区間\([x_1,~x_2]\)の幅\(x_2-x_1\)を「ヨコ」，区間\([x_1,~x_2]\)で一番小さい\(y\)の値\(f(x_{min})\)を「タテ」としたときの長方形の面積\((x_2-x_1)f(x_{min})\)よりも大きいと言えます（下図参照．一番大きい，または小さい\(y\)の値を取るときの\(x\)をそれぞれ\(x_{max},~x_{min}\)とおきました）．

したがって，以下の不等式が成り立ちます．
\[(x_2-x_1)f(x_{min})\leq S(x_2)-S(x_1)\leq (x_2-x_1)f(x_{max})\]
さらに，辺々を\(x_2-x_1\)で割ることで，
\[f(x_{min})\leq \frac{S(x_2)-S(x_1)}{x_2-x_1}\leq f(x_{max})\]
が得られます．

ここで，\(x_2\)を\(x_1\)に近づけてみます．すなわち，
\[\lim_{x_2\rightarrow x_1}f(x_{min})\leq \lim_{x_2\rightarrow x_1}\frac{S(x_2)-S(x_1)}{x_2-x_1}\leq \lim_{x_2\rightarrow x_1}f(x_{max})\]
まず中辺ですが，これは導関数の定義から\[S'(x_1)\]と書けます．

次に左辺と右辺について．\(x_2\)を\(x_1\)に近づけるというのは，区間\([x_1,x_2]\)の幅を縮めるということですから，図から\(f(x_{max}),~f(x_{min})\)はどちらも\(f(x_1)\)に近づくことが分かります（下図参照）．

すなわち，
\[\lim_{x_2\rightarrow x_1}f(x_{max})=\lim_{x_2\rightarrow x_1}f(x_{max})=f(x_1)\]

したがって，はさみうちの原理から
\[S'(x_1)=f(x_1)\]
が得られますが，この式は
\[S(x_1)=\text{\(f(x_1)\)の原始関数}\]
であることを示しています．添え字がちょっとうるさいので\(x_1\)を\(x\)に置き換えておきます．
\[S(x)=\text{\(f(x)\)の原始関数}\]
準備は整いました．定積分の定義\(\displaystyle \int^b_a f(x)dx=F(b)-F(a)\)を変形してみます．
\[
\begin{align}
\int^b_a f(x)dx=&F(b)-F(a)\\
=&\text{\(f(x)\)の原始関数}|_{x=b}-\text{\(f(x)\)の原始関数}|_{x=a}\tag{1}\\
=&S(x)|_{x=b}-S(x)|_{x=a}\tag{2}\\
=&S(b)-S(a)
\end{align}
\]
\((1)\)は定義の仮定：「\(F(x)=\text{\(f(x)\)の原始関数}\)」から，
\((2)\)は先に導いた式：「\(S(x)=\text{\(f(x)\)の原始関数}\)」によるものです．

結局，
\[\int^b_a f(x)dx=S(b)-S(a)\]
が得られますが，\(S(b)-S(a)\)は\(y=f(x),~x=a,~x=b,~y=0\)で囲まれた面積を表しますから，定積分すなわち原始関数の差は確かに面積を表すことが確認でしました．

以上により定積分で面積が求められることが一応納得はできました．しかしながら，この「納得」は上でみたように複雑で，お世辞にも「直観的」とは言えません．一般に求積問題は図形が絡むので視覚情報から解法に繋げていくことが多いのですが，その視覚情報を数式に落とし込むにはある種の「直観的」な理解が必要になってきます．教科書の定義のままでは直観的な理解が伴わないゆえに求積問題等ではうまく発想・立式ができず，ほとんど使い物になりません．数学が得意な人，これから得意にしたい人，あるいは将来的に数学を使う学部学科に進みたい人は違う角度で定積分というものを捉える（理解する）べきです．

次回，「定積分」を教科書とは違う角度から（リーマン和の極限として）再定義し，今度は逆に「定積分が原始関数の差である」ことを定理として導いてみようと思います．すなわち，教科書が「定積分とは原始関数の差である（定義）→定積分は面積である（定理）」という流れであったのに対し，逆に「定積分はリーマン和の極限（＝面積）である（定義）→定積分は原始関数の差である（定理）」という流れで定積分というものを捉え直します．この考え方自体がとりもなおさず受験数学における求積問題の肝にもなります．

（証明）

積の微分法より\[(F(x)g(x))’=f(x)g(x)+F(x)g'(x)\]
この式は「微分して\(f(x)g(x)+F(x)g'(x)\)になるような関数が，\(F(x)g(x)\)」ということですから，不定積分が原始関数を表すことを思い出すと\[F(x)g(x)=\int \big( f(x)g(x)+F(x)g'(x) \big)dx\]と書けます．不定積分の線形性より，
\[F(x)g(x)=\int f(x)g(x)dx+\int F(x)g'(x) dx\]
移項すると，\[\int f(x)g(x)dx=F(x)g(x)-\int F(x)g'(x) dx\]（証明終）

教科書等だと部分積分の公式は\[\int f'(x)g(x)dx=f(x)g(x)-\int f(x)g'(x) dx\]などと書かれていることが多いので，「まず被積分関数（の一部）を\(f'(x)\)の形にしてから公式を適用する」と認識されがちですが，その使い方はちょっと面倒だと思います．そうではなく，上のように\[\int f(x)g(x)dx=F(x)g(x)-\int F(x)g'(x) dx\]と認識しておけば，結局「片方\(f(x)\)の原始関数（の１つ）を求めて，もう片方\(g(x)\)を微分する」と読め，やるべきことが明解です．もちろん，やっていることは同じなんですがこんな地味なレベルでの認識の違いで覚えやすさ，計算のスピードが変わってくるので意外と大事です．

覚え方：代ゼミの荻野暢也先生の言葉をお借りすれば…「片方積分して，放っておかれたほう微分して引く積分」です！（僕はこの荻野先生の覚え方で覚えました＾＾；．部分積分するときは未だにこれを頭の中で唱えながら部分積分しています．おすすめです）

「ビュッフォンの針問題」と呼ばれる問題です．確率の問題なのに\(\pi\)が出てくるのでなんか不思議だよねーみたいな文脈で語られることが多いと思います．今回はこの確率を実際に求めてみます．

まず，「針が交わるか交わらないか」がどんな要素に依存するかを考えてみます．それは単純に，針がどこに落ちたか，そして，落ちた針がどんな角度で横たわっているか，という２つの要素であることは容易に予測できます．

ここで，前者「針がどこに落ちたか」について少し掘り下げて考えてみましょう．「どこに」というのはいわゆる位置情報ですから，縦・横という情報を含みます．「縦方向においてどの位置にいて・横方向においてどの位置にいるか」ということですね．しかし，この問題においては横方向においてどこにいるかによって針が交わるか交わらないかというその事実が変わることはありません．

したがって「針がどこに落ちたか」に関しては縦方向のみを考えればよいことになります．

「針がどこに落ちたか（縦方向）」と「落ちた針がどんな角度で横たわっているか」をそれぞれ文字で表すことにします．

まず，「針がどこに落ちたか（縦方向）」：針の中心から，最寄りの平行線までの距離を\(d\)とします．

今，「最寄りの」と定義したので，この\(d\)は\(0\leq d \leq h\)です．

次に「落ちた針がどんな角度で横たわっているか」：最寄りの平行線と針のなす角を\(\theta\)とおきます．\(0\leq \theta \leq \pi\)です．

以上の準備の下に，「針が平行線と交わる」ことを数式に翻訳しましょう．図を用いて考えてみます．

このようにみると，どうやら\[d\leq l\sin\theta\]のとき針が交わることが分かります．

次に確率を求めます．

ここで，前述したように「針が平行線と交わるか交わらないか」は（平行線との縦方向の）距離\(d\)と角度\(\theta\)に依存するのでした．この二つの要素が問題なのですから，以下のような横軸が\(\theta\)，縦軸が\(d\)であるような座標系を考えます．

この座標系における点のひとつひとつが，落ちた針の状況を表しています．例えば\(\left(\frac{\pi}{4},~\frac{h}{8}\right)\)なら，「最寄りの平行線からの距離が\(\frac{h}{8}\)で，その直線とのなす角が\(\frac{\pi}{4}\)」，例えば\(\left(\frac{5}{6}\pi,~\frac{3}{4}h\right)\)なら，「最寄りの平行線からの距離が\(\frac{3}{4}h\)で，その直線とのなす角が\(\frac{5}{6}\pi\)」のように．

まず，針と平行線が交わるような点\((\theta,~d)\)たちを求めてみましょう．上で見たように「針と平行線が交わるような点\((\theta,~d)\)」とは，「\(d \leq l\sin\theta\)をみたす\((\theta,~d)\)」です．図示すると，下図の赤い点たちですね（イメージ）．

です．この赤い部分の面積を求めると，

\[\displaystyle \int^{\pi}_0 l\sin\theta d\theta=l\Bigl[-\cos\theta\Bigl]^{\pi}_0=2l\quad\cdots(1)\]

となります．

他方，起こり得るすべての点\((\theta,~d)\)たちはどんな点たちでしょうか．今，\(\theta\)軸が\(0\leq \theta \leq \pi\)，\(d\)軸が\(0\leq d \leq h\)ですから，起こり得るすべての点の集合は以下のような図になります（イメージ）．

この部分の面積は\[h\times \pi=\pi h\quad\cdots(2)\]です．

以上より，題意の確率は，\((2)\)の面積を分母とし，\((1)\)の面積を分子として割合を作り，

\[\frac{\text{(1)の面積}}{\text{(2)の面積}}=\frac{2l}{\pi h}\]

となります．

以前，生徒に聞いたのですが，とあるクイズ番組で東大生がこの問題を問われた瞬間に結果を即答したそうです＾＾；結果を覚えていたのか，それとも・・・？

数学Ⅲ極限の有名問題の論理的側面について考えてみます．

次の等式が成り立つように，定数\(a,~b\)の値を求めよ．\[\lim_{x\rightarrow 1}\frac{a\sqrt{x}+b}{x-1}=2\]

（数研出版 数学Ⅲ「関数の極限」より抜粋）

\(x\rightarrow1\)とすると，左辺は\(\frac{a+b}{0}\)となり，もし\(a+b\neq 0\)とすると左辺は発散してしまいますが，この式は「左辺の極限は2に限りなく近づく（収束する）」ということを主張した式ですから矛盾してします．したがって，\(a+b=0\)であることが必要です（必要条件）．そして\(b=-a\)を元の式に代入して極限計算すると・・・というおなじみの問題です．

ここでふとギモン．必要条件なのに教科書の解答では逆の考察をしていません．必要条件は逆の考察をしなければならないんじゃなかったの・・・？？

これはどういうことか，論理式を用いて考察してみます．

【解答】
\begin{align*}
&\lim_{x\rightarrow 1}\frac{a\sqrt{x}+b}{x-1}=2\\
\Longleftrightarrow&\lim_{x\rightarrow 1}\frac{a\sqrt{x}+b}{x-1}=2 \land a+b=0 \quad\cdots(\ast)\\
\Longleftrightarrow&\lim_{x\rightarrow 1}\frac{a\sqrt{x}-a}{x-1}=2 \land b=-a\\
\Longleftrightarrow&\lim_{x\rightarrow 1}\frac{a(\sqrt{x}-1)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}=2 \land b=-a\\
\Longleftrightarrow&\lim_{x\rightarrow 1}\frac{a}{\sqrt{x}+1}=2 \land b=-a\\
\Longleftrightarrow&\frac{a}{2}=2 \land b=-a\\
\Longleftrightarrow&a=4 \land b=-a\\
\Longleftrightarrow&a=4 \land b=-4\\
\end{align*}
【解答終】

模式的にかくと，\(P_1\Longrightarrow P_2\)のとき，\[P_1\Longleftrightarrow P_1\land P_2\]という同値関係が成り立つから（上の\((\ast)\)）逆の考察をしなくてもいいのです．

\(a=4,~b=-4\)と答えるだけなら，上記の話は全く必要のない知識でしょう．これで正答ですし．しかし，他の記事でも書いたように，分野を超えて，それも教科書レベルの問題にすら論理の話題は潜んでいるということに注目すべきです．もっとも，数学は論理によって記述されるわけですから，当然と言えば当然ですが・・・．このような背景を理解しておくことは受験だけでなくその後の数学学習に大いに役立つと思います（例えば，数学系大学1年生を苦しめるかの悪名高き\(\epsilon\delta\)論法も，結局，高校のカリキュラムに述語論理が含まれていないがためだと個人的に思います）．

ちなみに，このような\(\land,~\lor,~\Rightarrow,~\lnot\)（論理積，論理和，含意，否定）といった論理記号は，教科書では主に「ベン図」により理解したと思います．しかし正確には「真理値表」という表によって定義されます．上で言った「\(P_1\Longrightarrow P_2\)のとき，\(P_1\Longleftrightarrow P_1\land P_2\)が成り立つ」という事実も，真理値表により確かめられます．