タグ: 松坂和夫，集合と位相

\(f,g\)がともに位相空間\(S\)で定義された実連続関数ならば，\(f+g,f-g,f\cdot g,af(a\in \mathbb{R})\)も実連続関数である．また，\(S\)のすべての点\(x\)において\(g(x) \neq 0\)ならば\(\frac{f}{g}\)も実連続関数である．

 
本だと「\(\delta=\min\left\{1,\frac{\epsilon}{|f(x_0)|+|g(x_0)|+1}\right\}\)とする」といきなり与えられていて「なんでこんな\(\delta\)が思いついたの？？」という部分が釈然としないので天下り的でなく発見的な証明を作ってみます（\(f\cdot g\)だけ）．ちょっと口語的で冗長だけど…．

証明

\(x_0\)の\(S\)の任意の１点とし，\(\epsilon\)を任意の正の実数とする．示したいことは，この\(\epsilon\)に対して，\[\exists V \in\mathbb{V}_{S}(x_0)[x \in V \Rightarrow |f(x)g(x)-f(x_0)g(x_0)|<\epsilon]\tag{1}\]が成り立つことである．一方，与えられた仮定は\(f,g\)が連続であること，すなわち任意の正数\(\epsilon^{\prime},\epsilon^{\prime\prime}\)に対して\begin{cases}\exists V_1 \in\mathbb{V}_{S}(x_0)[x \in V_1 \Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\epsilon’]\\ \exists V_2 \in\mathbb{V}_{S}(x_0)[x \in V_2 \Rightarrow |g(x)-g(x_0)|<\epsilon^{\prime\prime}]\end{cases}である．P161定理\(10(\mathrm{Viii})\)により，\(V_1 \cap V_2 \in \mathbb{V}_{S}(x_0)\)であり，これを\(V\)とおくと，\(V \subset V_1,V\subset V_2\)だから\[\begin{cases}x \in V \Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\epsilon’\\ x \in V \Rightarrow |g(x)-g(x_0)|<\epsilon^{\prime\prime}\end{cases}(\forall \epsilon’,\epsilon^{\prime\prime}>0)\tag{2}\]が成り立つ．この２式の利用を考える．\((1)\)において示すべき\(V\)は，上で定義した\(V=V_1\cap V_2\)ではないか？という予想を立てて先へ進んでみる．

\(x \in V\)とする（\((1)\)の仮定）．このとき，\((2)\)（の結論）が使えることに留意しつつ，\(|f(x)g(x)-f(x_0)g(x_0)|<\epsilon\)を目指す．

\begin{align*}
&|f(x)g(x)-f(x_0)g(x_0)|\\
=&|f(x)(g(x)-g(x_0))+f(x)g(x_0)-f(x_0)g(x_0)|\\
=&|f(x)(g(x)-g(x_0)) + g(x_0)(f(x)-f(x_0))|\\
\leq &|f(x)||g(x)-g(x_0)| + |g(x_0)||f(x)-f(x_0)|\\
<&|f(x)|\epsilon^{\prime\prime} + |g(x_0)|\epsilon’\tag{\(\ast\)} \end{align*}\(f(x)\)は変数\(x\)に依存しているのでこれをなんとかしたい．そこで，\(\epsilon’>0\)が任意であったことに着目して\(\epsilon^{\prime} \leq 1\)と決める．すると\(|f(x)-f(x_0)|<1\)．これと三角不等式\(|f(x)|-|f(x_0)| \leq |f(x)-f(x_0)|\)により\(|f(x)|<|f(x_0)|+1\)を得る．したがって，\[(\ast)=|f(x)|\epsilon^{\prime\prime}+|g(x_0)|\epsilon’ < (|f(x_0)|+1)\epsilon^{\prime\prime} + |g(x_0)|\epsilon’\]ここで，\(\epsilon^{\prime\prime}\)と\(\epsilon’\)は\(\epsilon^{\prime\prime}=\epsilon’=\frac{\epsilon}{1+|f(x_0)|+|g(x_0)|}\)と定めればよいのではないか？と気づく．ただし，\(\epsilon^{\prime}\)は\(\epsilon^{\prime}\leq 1\)と定めたのであったから，結局\(\epsilon^{\prime\prime}=\epsilon’=\min\left\{1,\frac{\epsilon}{1+|f(x_0)|+|g(x_0)|}\right\}\)と定めればよいことになる．実際，\(\epsilon^{\prime\prime}=\epsilon’=1\left(<\frac{\epsilon}{1+|f(x_0)|+|g(x_0)|}\right)\)であっても\(\epsilon^{\prime\prime}=\epsilon’=\frac{\epsilon}{1+|f(x_0)|+|g(x_0)|}\)であっても\((\ast)<\epsilon\)となる．
 
証明終

上の\((\mathrm{iii})\)は明らかに次のように述べかえられる．
\((\mathrm{iii})’\)\(x_0\)の\(S\)の任意の点，\(\epsilon\)を任意の正の実数とするとき，\(x_0\)の適当な近傍\(V\)をとれば，\(V\)に属するすべての点\(x\)に対して\[|f(x)-f(x_0)|<\epsilon\]が成り立つ．

 

\(x_0\)の\(S\)の任意の点，\(\epsilon\)を任意の正の実数とする．
\begin{align*}
V’ \in \mathbb{V}_{\mathbb{R}}(f(x_0))\Longrightarrow~&f^{-1}(V’) \in \mathbb{V}_{S}(x_0)\\
\Longleftrightarrow~&f^{-1}((f(x_0)-\epsilon,f(x_0)+\epsilon)) \in \mathbb{V}_{S}(x_0)\\
\Longleftrightarrow~&\{x | x \in S, f(x_0)-\epsilon < f(x) < f(x_0)+\epsilon\}\in \mathbb{V}_{S}(x_0)\\
\Longleftrightarrow~&\{x | x \in S, |f(x) – f(x_0)| < \epsilon\}\in \mathbb{V}_{S}(x_0)&(\mathrm{iii})\\
\Longleftrightarrow~&\exists V \in \mathbb{V}_{S}(x_0)[x \in V \Rightarrow |f(x) – f(x_0)| < \epsilon]&(\mathrm{iii})’
\end{align*}

証明

\((\mathrm{iii})\Leftarrow(\mathrm{iii})’\)
仮定により，\begin{align*}
&x \in V \Rightarrow |f(x)-f(x_0)| < \epsilon\\
\Longleftrightarrow~&x \in V \Rightarrow |f(x)-f(x_0)| < \epsilon \land x \in S &(\text{なぜなら}V \in \mathbb{V}_S(x_0))\\
\Longleftrightarrow~&x \in V \Rightarrow x \in \{x | |f(x)-f(x_0)| < \epsilon \land x \in S\}\\
\Longleftrightarrow~&V \subset \{x | |f(x)-f(x_0)| < \epsilon \land x \in S\}
\end{align*}\(V \in \mathbb{V}_S(x_0)\)であるから，P161定理\(10(\mathrm{Vii})\)により\(\{x | |f(x)-f(x_0)| < \epsilon \land x \in S\} \in \mathbb{V}_S(x_0)\)．

\((\mathrm{iii})\Rightarrow (\mathrm{iii})’\)
仮定の\(\{x | x \in S, |f(x) – f(x_0)| < \epsilon\}\in \mathbb{V}_{S}(x_0)\)が結論で示すべき\(V\)である．実際，\(x \in \{x | x \in S, |f(x) – f(x_0)| < \epsilon\}\)とすれば，\(x \in S\)かつ\(|f(x)-f(x_0)|<\epsilon\)すなわち\(|f(x)-f(x_0)|<\epsilon\)が言える．

証明終

\(x\)を１つの基本近傍系\(\mathbb{V}^*(x)\)を知れば，それから直ちに，\(x\)の（全）近傍系\(\mathbb{V}^*(x)\)を求めることができる．実際，定義から明らかに\(\mathbb{V}^*(x)\)はある\(U\in\mathbb{V}^*(x)\)を含むような\(S\)の部分集合全体から成る集合系となるからである：\[\mathbb{V}(x)=\{V|\exists U \in \mathbb{V}^*(x)(U \subset V)\}\]

 

証明

\(\mathbb{V}(x) \subset \{V|\exists U \in \mathbb{V}^*(x)(U \subset V)\}\)であること：
\begin{align*}
\text{\(\mathbb{V}^*(x)\)が\(x\)の基本近傍系}\Longleftrightarrow~&\forall V \in \mathbb{V}(x) \exists U \in \mathbb{V}^*(x)[U \subset V]\\
\Longleftrightarrow~&\forall V [V \in \mathbb{V}(x) \rightarrow \exists U \in \mathbb{V}^*(x)[U \subset V]]\\
\Longleftrightarrow~& V \in \mathbb{V}(x) \Rightarrow \exists U \in \mathbb{V}^*(x)[U \subset V]\\
\Longleftrightarrow~& \mathbb{V}(x) \subset \{V|\exists U \in \mathbb{V}^*(x)[U \subset V]\}
\end{align*}

\(\{V|\exists U \in \mathbb{V}^*(x)(U \subset V)\} \subset \mathbb{V}(x)\)であること：
\(V \in \{V|\exists U \in \mathbb{V}^*(x)[U \subset V]\}\)を任意にとる．このとき\(\exists U \in \mathbb{V}^*(x)[U \subset V]\)．\(\mathbb{V}^*(x)\)は基本近傍系であるから，その定義により\(\mathbb{V}^*(x) \subset \mathbb{V}(x)\)．よって\(U \in \mathbb{V}(x)\)．また\(U \subset V\)であるから，定理\(10(\mathbf{V}\mathrm{ii})\)により\(V \in \mathbb{V}(x)\)．したがって\(\{V|\exists U \in \mathbb{V}^*(x)(U \subset V)\} \subset \mathbb{V}(x)\)．

以上により\[\mathbb{V}(x)=\{V|\exists U \in \mathbb{V}^*(x)(U \subset V)\}\]

証明終

\(\mathfrak{B}\)が\(\mathfrak{O}\)の基底ならば，明らかに\(\mathfrak{O}=\mathfrak{O}(\mathfrak{B})\)

 

証明

\(\mathfrak{B}\)が\(\mathfrak{O}\)の基底であるとする．すなわち，\(\mathfrak{B} \subset \mathfrak{O}\)で，\(\forall O \in \mathfrak{O}\exists (W_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda} [O=\displaystyle \bigcup_{\lambda \in \Lambda}W_{\lambda},W_{\lambda}\in \mathfrak{B}]\)とする．示したいことは\(\mathfrak{O}=\mathfrak{O}(\mathfrak{B}) \Longleftrightarrow \mathfrak{O} \subset \mathfrak{O}(\mathfrak{B}), \mathfrak{O}(\mathfrak{B}) \subset \mathfrak{O}\)である．

\(\mathfrak{O} \subset \mathfrak{O}(\mathfrak{B})\)であること：
\((\mathfrak{O}_{\mu})_{\mu \in M}\)を\(\mathfrak{B}\)を含む位相から成る任意の集合族とすると，\(\mathfrak{O}(\mathfrak{B})=\displaystyle\bigcap_{\mu \in M}\mathfrak{O}_{\mu},\mathfrak{B}\subset \mathfrak{O}_{\mu}\)と表せる．\(O \in \mathfrak{O}\)とする．このとき，仮定により\(O=\displaystyle\bigcup_{\lambda \in \Lambda}{W}_{\lambda}\)と書ける．任意の\(\lambda \in \Lambda\)に対して\(W_{\lambda} \in \mathfrak{B} \subset \mathfrak{O}_{\mu}~(\forall \mu \in M)\)．よって\(\mathfrak{O}_{\mu}\)は位相だから\((\mathbf{Oiii})\)により\(\displaystyle\bigcup_{\lambda \in \Lambda}W_{\lambda} \in \mathfrak{O}_{\mu}~(\forall \mu \in M)\)．ゆえに，\(O=\displaystyle \bigcup_{\lambda \in \Lambda}W_{\lambda} \in \displaystyle\bigcap_{\mu \in M}\mathfrak{O}_{\mu} = \mathfrak{O}(\mathfrak{B})\)．

\(\mathfrak{O}(\mathfrak{B}) \subset \mathfrak{O}\)であること：
\(O \in \mathfrak{O}(\mathfrak{B})\left(=\displaystyle\bigcap_{\mu \in M}\mathfrak{O}_{\mu}\right)\)とする．仮定により\(\mathfrak{B}\subset \mathfrak{O}\)．ここで，\((\mathfrak{O}_{\mu})_{\mu \in M}\)は\(\mathfrak{B}\)を含む位相から成る任意の集合族であったから，\(\mathfrak{O} \in \{\mathfrak{O}_{\mu}\}_{\mu \in M}\)．したがって\(O \in \mathfrak{O}(\mathfrak{B})=\displaystyle\bigcap_{\mu \in M}\mathfrak{O}_{\mu}\subset \mathfrak{O}\)．

証明終