\[\sqrt{a}>b\]
恒真条件の追加と分配法則により，
\begin{align*}
&\sqrt{a}>b\\
\Longleftrightarrow~&\sqrt{a}>b \land (b \geq 0 \lor b < 0)\\
\Longleftrightarrow~& (\sqrt{a}>b \land b \geq 0)\text{（ア）} \lor (\sqrt{a}>b \land b < 0) \text{（イ）}
\end{align*}
（ア）と（イ）を分けて考えます．
（まず（ア）について）
いきなり同値な変形は考えづらいので，必要性\((\Rightarrow)\)と十分性\((\Leftarrow)\)を別々に考えることにします． まず必要性\((\Rightarrow)\)から．今，\(b \geq 0\)ですから，\(\sqrt{a}>b\)の両辺を２乗することができて，例えば
\begin{align*}
&\sqrt{a}>b \land b \geq 0 \text{（ア）}\Longrightarrow a > b^2\tag{1}
\end{align*}
のように必要条件が得られます．次にこの\((1)\)における十分性\((\Leftarrow)\)を考えてみましょう．両辺が正ですから，\(\sqrt{\quad}\)をとることができますが，
\[a > b^2 \Longrightarrow \sqrt{a} > \sqrt{b^2} \Longrightarrow \sqrt{a} > |b|\]
となり(ア)に戻れません（\(b\)の正負がわからない）．そこで，\((1)\)において（ア）の必要条件をもう少し絞り出しておきましょう．
\[\sqrt{a} > b\land b \geq 0 \text{（ア）}\Longrightarrow a > b^2 \land b \geq 0\]
そして十分性を確認してみます．
\begin{align*}
a > b^2 \land b \geq 0\Longrightarrow &\sqrt{a} > \sqrt{b^2} \land b\geq 0 \\
\Longrightarrow &\sqrt{a} > |b| \land b \geq 0 \\
\Longrightarrow &\sqrt{a} > b \land b \geq 0
\end{align*}
となりこれなら（ア）に戻れます．これで必要十分（同値）であることが分かりました．したがって\((1)\)の論理式は，
\[\sqrt{a} > b \land b \geq 0 \text{（ア）}\Longleftrightarrow a > b^2 \land b \geq 0 \tag{1′}\]
と書きかえれば同値になることが分かりました．
（次に（イ）について）
必要性\(\Rightarrow\)から見てみます．ここでは例えば明らかな必要性
\[(\sqrt{a} > b \land b < 0) \text{（イ）} \Longrightarrow b < 0 \tag{2}\]
を考えてみます．逆（十分性）はどうか？
\[b < 0 \Longrightarrow (\sqrt{a} > b \land b < 0) \text{（イ）}\]が言えるか？…残念ながら言えません．なぜなら\(a\)は\(\sqrt{\quad}\)の中にあるのだから正でなくてはなりませんが，しかし仮定には\(a\)の正負についての言及がないからです．このことを踏まえて\((2)\)で（イ）の必要条件を適切に絞り出しておきます．\(\sqrt{\quad}\)の‘中身’は正であることに着目して，
\[(\sqrt{a} > b \land b < 0) \text{（イ）} \Longrightarrow a \geq 0 \land b < 0\]
さてこれならどうでしょうか？逆（十分性）を見てみると
\[a \geq 0 \land b < 0 \Longrightarrow (\sqrt{a} > b \land b < 0) \text{（イ）}\]
は確かに言えます．したがって，\((2)\)の論理式は
\[(\sqrt{a} > b \land b < 0) \text{（イ）} \Longleftrightarrow a \geq 0 \land b < 0\tag{2'}\]
と書けば同値であることがわかりました．
\((1'),(2')\)により，
と同値変形できることが分かりました．
ちなみにもし，\(b \geq 0\)という条件を‘大前提’として奉れば，当然
\[\sqrt{a}>b \Longleftrightarrow a > b^2 \land b \geq 0\]
と書けます．
