絶対値を含む方程式

\(a\)を\(-1\)より大きい定数とする.\[a(|x|-a)+x+1<0\]を解け. (駿台模試,一部抜粋)

解答

\begin{align*}
&a(|x|-a)+x+1<0 \land a>-1\\
\Longleftrightarrow~&a(|x|-a)+x+1<0 \land a>-1 \land (x \geq 0 \lor x <0)\\ \Longleftrightarrow~&(a(x-a)+x+1<0 \land a>-1 \land x \geq 0)\\
&\lor (a(-x-a)+x+1 < 0 \land a>-1 \land x < 0)\\ \Longleftrightarrow~&((a+1)x < a^2-1 \land a+1>0 \land x \geq 0)\\
&\lor ((1-a)x < a^2-1 \land a > -1 \land x < 0)\\ \Longleftrightarrow~&(x < a-1 \land a+1>0 \land x \geq 0) \\
&\lor ((1-a)x < a^2-1 \land a > -1 \land x < 0)\\ \Longleftrightarrow~&((x < a-1 \land a+1>0 \land x \geq 0)\land(a-1\leq 0 \lor a-1 >0)) \\
&\lor (((1-a)x < a^2-1 \land a > -1 \land x < 0)\land (1-a>0\lor 1-a=0 \lor 1-a <0))\\ \Longleftrightarrow~&(x < a-1 \land a+1>0 \land x \geq 0 \land a-1\leq 0) \\
&\lor(x < a-1 \land a+1>0 \land x \geq 0 \land a-1 >0) \\
&\lor ((1-a)x < a^2-1 \land a > -1 \land x < 0 \land 1-a>0)\\
&\lor ((1-a)x < a^2-1 \land a > -1 \land x < 0 \land 1-a=0)\\ &\lor ((1-a)x < a^2-1 \land a > -1 \land x < 0 \land 1-a <0)\\ \Longleftrightarrow~&(x < a-1 \land x \geq 0 \land -1 < a \leq 1) \\ &\lor(x < a-1 \land a > -1 \land x \geq 0 \land a >1) \\
&\lor (x < -a-1 \land x < 0 \land -1 < a < 1)\\ &\lor (0x < 0 \land a > -1 \land x < 0 \land a=1)\\ &\lor (x > -a-1 \land a > -1 \land x < 0 \land 1 < a)\\ \Longleftrightarrow~&\bot\\ &\lor(x < a-1 \land x \geq 0 \land a >1) \\
&\lor (x < -a-1 \land x < 0 \land -1 < a < 1)\\ &\lor \bot\\ &\lor (x > -a-1 \land x < 0 \land 1 < a)\\ \Longleftrightarrow~&(x < a-1 \land x \geq 0 \land a >1) \\
&\lor (x < -a-1 \land x < 0 \land -1 < a < 1)\\ &\lor (x > -a-1 \land x < 0 \land 1 < a)\\ \Longleftrightarrow~& (x < -a-1 \land -1 < a < 1)\\ &\lor(x < a-1 \land x \geq 0 \land a >1) \\
&\lor (x > -a-1 \land x < 0 \land 1 < a)\\ \Longleftrightarrow~& (x < -a-1 \land -1 < a < 1)\\ &\lor (((x < a-1 \land x \geq 0) \lor (x > -a-1 \land x < 0 )) \land 1 < a)\\ \Longleftrightarrow~& (x < -a-1 \land -1 < a < 1)\\ &\lor ((0 \leq x < a-1 \lor -a-1< x < 0 ) \land 1 < a)\\ \Longleftrightarrow~& (x < -a-1 \land -1 < a < 1)\lor (-a-1< x < a-1 \land 1 < a ) \end{align*} 解答終

絶対値の扱い

新高1生向け。絶対値を含む方程式・不等式おいて,「場合分け」をし,「(得た結果について,場合分けで行った)条件を満たすかどうかを確認」または「共通部分」をとりました。以下はそこで「?」と思った人向けの話です。教える側としても一般的な「場合分け」で説明しているとどこか後ろめたさを感じるのでここにノートしておきたいと思います。

まず各種公式を証明します。\(c>0\)とします。

\begin{align*}
&(1)\quad |x|=c \Longleftrightarrow x=\pm c\\
&(2)\quad |x| < c \Longleftrightarrow -c < x < c\\
&(3)\quad |x| > c \Longleftrightarrow x < -c \lor c < x
\end{align*}

\((1)\)の証明

\begin{align*}
&|x|=c\\
\Longleftrightarrow~ & |x|=c \land (x \geq 0 \lor x < 0)\\
\Longleftrightarrow~ & (|x|=c \land x \geq 0) \lor (|x|=c \land x < 0)\\
\Longleftrightarrow~ & (x=c \land x \geq 0) \lor (-x=c \land x < 0)\\
\Longleftrightarrow~ & (x=c \land x \geq 0) \lor (x=-c \land x < 0)\\
\Longleftrightarrow~ & x=c \lor x=-c\\
\Longleftrightarrow~ & x=\pm c
\end{align*}

証明終

\((2)\)の証明

\begin{align*}
&|x| < c\\
\Longleftrightarrow~ & |x| < c \land (x \geq 0 \lor x < 0)\\
\Longleftrightarrow~ & (|x| < c \land x \geq 0) \lor (|x| < c \land x < 0)\\
\Longleftrightarrow~ & (x < c \land x \geq 0) \lor (-x < c \land x < 0) \\
\Longleftrightarrow~ & (0 \leq x < c) \lor (-c < x < 0) \\
\Longleftrightarrow~ & -c < x < c
\end{align*}

証明終

\((3)\)の証明

\begin{align*}
&|x| > c\\
\Longleftrightarrow~ & |x| > c \land (x \geq 0 \lor x < 0)\\ \Longleftrightarrow~ & (|x| > c \land x \geq 0) \lor (|x| > c \land x < 0)\\ \Longleftrightarrow~ & (x > c \land x \geq 0) \lor (-x > c \land x < 0) \\
\overset{(\ast)}{\Longleftrightarrow}~ & x < -c \lor c <x\\
\end{align*}

証明終

\((\ast)\)の理解:
例えば,一般に\(A\land B \Rightarrow A\)ですから\(x > c \land x \geq 0 \Rightarrow x > c\),逆に\(x > c\)であるとき,\(c > 0\)が議論の大前提であったことを思い出すと\(x > 0\)であることすなわち\(x \geq 0\)が言え,\(x > c \land x \geq 0 \Leftarrow x > c\)が得られます。

以上の考察をそのまま問題に適用してみます。

次の方程式・不等式を解け.
\begin{align*}
&(1)\quad|x+4|=3x\\
&(2)\quad|2x+1| < x + 5\\
&(3)\quad 4x^2+5x-12\leq 3|x|
\end{align*}

\((1)\)の解答

\((2)\)の解答

\begin{align*}
&|2x+1| < x + 5\\
\Longleftrightarrow~ & |2x+1| < x + 5 \land (2x+1 \geq 0 \lor 2x+1 < 0)\\
\Longleftrightarrow~ & (|2x+1| < x + 5 \land 2x+1 \geq 0) \lor (|2x+1| < x + 5 \land 2x+1 < 0)\\
\Longleftrightarrow~ & \left( 2x+1 < x + 5 \land x \geq -\frac{1}{2} \right) \lor \left( -2x-1 < x + 5 \land x < -\frac{1}{2}\right)\\
\Longleftrightarrow~ & \left( x < 4 \land x \geq -\frac{1}{2} \right) \lor \left( x > -2 \land x < -\frac{1}{2} \right) \\
\Longleftrightarrow~ & \left( -\frac{1}{2} \leq x < 4 \right) \lor \left(-2 < x < -\frac{1}{2}\right)\\
\Longleftrightarrow~ & -2 \leq x < 4
\end{align*}

解答終

\((3)\)の解答

…ちなみに教科書等では上の公式\((3)\)を\(x < -r,r < x\)と「,(カンマ)」と書いていますがこのカンマは「または」のカンマです。教科書は「かつ」も「または」をどちらも「,(カンマ)」で略記しているので注意が必要です。

かつとまたは,どっち?

不等式\[4x^2+5x-12\leq 3|x|\]を解け.

解答1

\((\mathrm{i})~\)\(x \geq 0\)のとき\(|x|=x\)であるから,
\begin{align*}
&4x^2+5x-12\leq 3x\\
&4x^2+2x-12\leq 0\\
&2x^2+x-6\leq 0\\
&(2x-3)(x+2)\leq 0\\
&-2\leq x \leq \frac{3}{2}\\
\end{align*}\(x \geq 0\)との共通部分を考え,\(0 \leq x \leq \frac{3}{2}\tag{1}\)

\((\mathrm{ii})~\)\(x < 0\)のとき\(|x|=-x\)であるから,
\begin{align*}
&4x^2+5x-12\leq -3x\\
&4x^2+8x-12\leq 0\\
&x^2+2x-3\leq 0\\
&(x+3)(x-1)\leq 0\\
&-3\leq x \leq 1\\
\end{align*}\(x < 0\)との共通部分を考え,\(-3 \leq x < 0\tag{2}\)

\((1),(2)\)との和集合を考え,\(-3 \leq x \leq \frac{3}{2}\)

解答終

よく見るいたって普通の解答ですが,生徒に「なぜ\((\mathrm{i}),(\mathrm{ii})\)では『かつ』なのに最後は『または』なんですか?『かつ』じゃだめなんですか?」と問われたらなんと答えらたいいのだろう?教科書にはもちろんそれらしい記述は一切はないから例によって頼りにならない。説明がないのだから,結局「そういうものだから覚えろ」と言うかそもそも(生徒の感覚に任せ)触れないかのどちらかになると思う。

解答2

\begin{align*}
&4x^2+5x-12\leq 3|x|\\
\Longleftrightarrow~&4x^2+5x-12\leq 3|x| \land ( x \geq 0 \lor x < 0)\\ \Longleftrightarrow~&(4x^2+5x-12\leq 3|x| \land x \geq 0) \lor (4x^2+5x-12\leq 3|x| \land x < 0)\\ \Longleftrightarrow~&(4x^2+5x-12\leq 3x \land x \geq 0) \lor (4x^2+5x-12\leq -3x \land x < 0)\\ \Longleftrightarrow~&(2x^2+x-6 \leq 0 \land x \geq 0) \lor (x^2+2x-3\leq 0 \land x < 0)\\ \Longleftrightarrow~&( -2\leq x \leq \frac{3}{2} \land x \geq 0) \lor (-3 \leq x \leq 1 \land x < 0)\\ \Longleftrightarrow~& 0 \leq x \leq \frac{3}{2}\lor -3 \leq x < 0\\ \Longleftrightarrow~&-3 \leq x \leq \frac{3}{2} \end{align*} 解答終

結局,やっていることが,恒真命題の追加と分配法則と分かり,これなら先のような疑問を挟む余地がありません。

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教科書ってこの種のその先はいう必要ないですよね的な部分があるからいまいち信用できないし,またそれを妄信する人も理解できない。教科書の解答こそが理想の解答だとかほんと勘弁。

絶対値

生徒に絶対値の定義は?と聞くと十中八九「距離です」と答えます。実際,教科書を見ると

数直線上で,実数\(a\)に対応する点と原点との距離を\(a\)の絶対値といい,記号\(|a|\)で表す

『高等学校 数学Ⅰ』数研出版

 
とあります。\(|3|\)とか\(|-5|\)などを考えるにはこの理解で問題ないでしょう。

しかし,この少し後で学ぶ\(|x|\)や\(|x-4|\)などを含む方程式・不等式が現れると途端に分からなくなる,という生徒がすごく多いのです。確かに「『絶対値は距離』だから\(x-4\)までのキョリ?どういうこと??」と大混乱してしまうのはまったく無理もないと思います。これは,その生徒ではなく教科書の定義の仕方自体に原因があると思う。「距離」なんてものを持ち出して中途半端に視覚化して理解させようとするから(応用問題において)逆に混乱させてしまう。

というわけで教科書はあまり当てにならないので,手元の微分積分学の本では絶対値をどう定義しているか見てみると,例えば

\(M=\{a,-a\}\)に対し\(\max M=|a|\)とかき,\(a\)の絶対値という.

笠原晧司『微分積分学』サイエンス社

 
とあります。これは換言すれば,次のようになります

絶対値の定義\[|a|:=\begin{cases}a\quad(a\geq 0) \\ -a \quad(a<0)\end{cases}\]

スローガン風に言えば,「‘中身’をムリヤリ正にする記号」,ということです。ここに「数直線」や「距離」などを持ち出す必要はありません。多くの数学書がそうしているように,これを明確に定義とすべきだと思います。このように理解しておけば,上記の\(|x-4|\)の例でいえば

\(|x-4|\)?中身\(x-4\)をムリヤリ正にしたいわけね
→そら中身の\(x-4\)が正か負かで扱い変わるでしょ
→でも\(x-4\)の正負って\(x\)に入る値によって変わるよね
→\(x\geq 4\)なら正なんだからはなから正だわこれ,そのまま外すわ
→\(x<4\)なら負ね,こいつをムリヤリ正にしたいってことは\(-1\)かければいいよね

と自然に頭が動くと思う。

「(困ったら)定義に戻って考える」というのは数学の重要な姿勢のひとつだと思うんですが,そのように定義に立ち戻って考えた人間が混乱するような記述はいかがなものか,と思います(が,教科書通りやらないと注意されたりするんだよなあ…)。

(おわり)

 

 

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