★P167

しかし,\(\mathfrak{O’} \supset \displaystyle \bigcup_{\alpha \in A} \mathfrak{O}_{\alpha}\)となるような\(\mathcal{J}\)の元\(\mathfrak{O’}\)は必ず存在するから(中略),そのような\(\mathfrak{O}’\)全部の共通部分を\(\mathfrak{O}^{(2)}\)とすれば,明らかに\(\mathfrak{O}^{(2)}\)はどの\(\mathfrak{O}_{\alpha}\)よりも強い位相で,しかもどの\(\mathfrak{O}_{\alpha}\)よりも強い位相のうちでは最も弱い位相となる.

 

証明

前半.\((\mathfrak{O’}_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda}\)を\(\mathfrak{O’}\supset \displaystyle \bigcup_{\alpha \in A} \mathfrak{O}_{\alpha}\)となるような\(\mathcal{J}\)の元\(\mathfrak{O’}\)から成る任意の集合族とする.\((\mathfrak{O}^{(2)}:=)\displaystyle \bigcap_{\lambda \in \Lambda} \mathfrak{O’}_{\lambda} \supset \displaystyle \bigcup_{\alpha \in A}\mathfrak{O}_{\alpha} \supset \mathfrak{O}_{\alpha}\).なぜなら,\(O\in\displaystyle \bigcup_{\alpha \in A}\mathfrak{O}_{\alpha}\)とすれば仮定により\(\forall \lambda \in \Lambda [\mathfrak{O’}_{\lambda} \supset \displaystyle \bigcup_{\alpha \in A} \mathfrak{O}_{\alpha} \ni O]\)だから\(\displaystyle \bigcap_{\lambda \in \Lambda} \mathfrak{O’}_{\lambda} \ni O\).よって\(\forall \alpha \in A [\mathfrak{O}^{(2)}\supset \mathfrak{O}_{\alpha}]\).ゆえに\(\mathfrak{O}^{(2)}\)は(位相であるとすれば)どの\(\mathfrak{O}_{\alpha}\)よりも強い位相である.

次にこの\(\mathfrak{O}^{(2)}\)が位相となることを示す.

\((\mathrm{Oi})\) 任意の\(\lambda \in \Lambda\)に対して,\(\mathfrak{O’}_{\lambda}\in \mathcal{J}\)であるから,\(\phi,S \in\mathfrak{O’}_{\lambda}\).ゆえに\(\phi,S \in \displaystyle\bigcap_{\lambda \in \Lambda}\mathfrak{O’}_{\lambda}=\mathfrak{O}^{(2)}\)
\((\mathrm{Oii})\) \(\displaystyle O_1,O_2 \in \bigcap_{\lambda \in \Lambda}\mathfrak{O’}_{\lambda}=\mathfrak{O}^{(2)}\)とする.このとき,すべての\(\lambda \in \Lambda\)に対して,\(O_1,O_2 \in \mathfrak{O’}_{\lambda}\)である.\(\mathfrak{O’}_{\lambda}\in \mathcal{J}\)であるから,\(O_1 \cap O_2 \in \mathfrak{O’}_{\lambda}\).したがって\(O_1 \cap O_2 \in \displaystyle\bigcap_{\lambda \in \Lambda}\mathfrak{O’}_{\lambda}=\mathfrak{O}^{(2)}\)
\((\mathrm{Oiii})\) \((O_{\mu})_{\mu \in M}\)を\(\mathfrak{O}^{(2)}=\displaystyle\bigcap_{\lambda \in \Lambda}\mathfrak{O’}_{\lambda}\)の元からなる任意の集合族とする.このとき,すべての\(\lambda \in \Lambda\)に対して,\(O_\mu \in \mathfrak{O’}_{\lambda}~(\forall \mu \in M)\)である.\(\mathfrak{O’}_{\lambda} \in \mathcal{J}\)であるから,\(\displaystyle\bigcup_{\mu \in M}O_\mu \in \mathfrak{O’}_{\lambda}\).\(\lambda\)は任意であるから,\(\displaystyle\bigcup_{\mu \in M}O_\mu \in \bigcap_{\lambda \in \Lambda}\mathfrak{O’}_{\lambda} = \mathfrak{O}^{(2)}\).
以上により\(\mathfrak{O}^{(2)}\)は位相である.

後半.どの\(\mathfrak{O}_{\alpha}\)よりも強い位相を\(\mathfrak{O}”\)とおく.すなわち\(\forall \alpha \in A[\mathfrak{O}_{\alpha} \subset \mathfrak{O”}]\)とする.このとき,\(\displaystyle \bigcup_{\alpha \in A}\mathfrak{O}_{\alpha} \subset \mathfrak{O”}\).ここで,\((\mathfrak{O’}_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda}\)は\(\mathfrak{O’} \supset \displaystyle \bigcup_{\alpha \in A}\mathfrak{O}_{\alpha}\)となるような\(\mathcal{J}\)の元\(\mathfrak{O’}\)から成る任意の集合族であったから,\(\mathfrak{O}” \in \{\mathfrak{O’}_{\lambda}\}_{\lambda \in \Lambda}\).したがって\(\mathfrak{O}^{(2)}:=\displaystyle \bigcap_{\lambda \in \Lambda}\mathfrak{O’}_{\lambda} \subset \mathfrak{O”}\).よって\(\mathfrak{O}^{(2)}\)はどの\(\mathfrak{O}_{\alpha}\)よりも強い位相のうちで最も弱い位相となる.

証明終

★P166

この\(\mathfrak{O}^{(1)}\)は,(中略)また明らかに,どの\(\mathfrak{O}_\alpha\)よりも弱い位相のうちでは最も強いものである.

 

証明

どの\(\mathfrak{O}_\alpha\)よりも弱い位相を\(\mathfrak{O}’\)とおく.すなわち\(\forall a \in A [\mathfrak{O}’ \subset \mathfrak{O}_\alpha]\)とする.このとき,\(\mathfrak{O}^{(1)}:= \displaystyle \bigcap_{\alpha \in A}\mathfrak{O}_{\alpha} \supset \mathfrak{O}’\)である.実際,\(O \in \mathfrak{O’}\)とすれば,\(\forall a \in A [\mathfrak{O}’ \subset \mathfrak{O}_\alpha]\)により\(\forall a \in A [O \in \mathfrak{O}_{\alpha}]\).ゆえに\(O \in \displaystyle\bigcap_{\alpha \in A}\mathfrak{O}_{\alpha}\).したがって\(\mathfrak{O}^{(1)} \supset \mathfrak{O}’\).
\(\mathfrak{O’}\)は(どの\(\mathfrak{O}_{\alpha}\)よりも弱い)任意の位相であったから,\(\mathfrak{O}^{(1)}\)が(どの\(\mathfrak{O}_{\alpha}\)よりも弱い位相のうちで)最も強い位相となる.

証明終

★P165問題5(で使うちしき)

\[M \subset N \Longrightarrow M^{a} \subset N^{a}\]

証明

\begin{align*}
&A \subset B \Longrightarrow A^i \subset B^i \\
\Longleftrightarrow~ &A \subset B \Longrightarrow A^{cac} \subset B^{cac}\\
\Longleftrightarrow~ &A \subset B \Longrightarrow A^{ca} \supset B^{ca}
\end{align*}\(A,B\)をそれぞれ\(N^c,M^c\)にかきかえると
\begin{align*}
&N^c \subset M^c \Longrightarrow N^{cca} \supset M^{cca} \\
\Longleftrightarrow~ &M \subset N \Longrightarrow M^{a} \subset N^{a}
\end{align*}

証明終

★P160

\(M\)の集積点は明らかに\(M\)の触点である.

 
証明
\begin{align*}
&M-\{x\} \subset M\\
\Longleftrightarrow~&(M-\{x\})^{c} \supset M^{c}\\
\Longleftrightarrow~&(M-\{x\})^{ci} \supset M^{ci}\\
\Longleftrightarrow~&(M-\{x\})^{cic} \subset M^{cic}\\
\Longleftrightarrow~&(M-\{x\})^{a} \subset M^{a}\\
\Longleftrightarrow~&x \in \overline{M-\{x\}} \Rightarrow x \in M^{a}
\end{align*}

証明終

★P154_2

また明らかに
\begin{align*}
&M \in \mathfrak{O} \Longleftrightarrow M^{\circ}=M \tag{2.4}\\
&M \subset N \Longrightarrow M^{\circ} \subset N^{\circ}\tag{2.5}
\end{align*}

 
証明

\((2.4)\)
必要性.\(M\)を開集合とすると,\(M\)に含まれる開集合として\(M\)自身がある.したがって\(M\)に含まれる開集合全体の和集合\(M^{\circ}\)をとるとそれは\(M\),すなわち\(M^{\circ}=M\)となる.
十分性.\(M\)に含まれる開集合の和集合が\(M\)であるとする.開集合の定義により,開集合の和集合は開集合なので,\(M\)は開集合,すなわち\(M \in \mathfrak{O}\).

\((2.5)\)
\((M_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}\)を\(M\)に含まれる開集合全体から成る任意の集合族とする.\(M\subset N,~a \in M^{\circ}\)と仮定すると,\(a \in M_{\lambda}\)となる\(\lambda\)が存在する.\(M_{\lambda} \subset \displaystyle \bigcup_{\lambda \in \Lambda}M_{\lambda} = M^{\circ} \subset M \subset N\)であるから,\(M_{\lambda}\)は\(N\)に含まれる開集合でもある.したがって\(M_{\lambda} \subset N^{\circ}\).ゆえに\(a \in N^{\circ} \).よって\(M^{\circ}\subset N^{\circ}\).

証明終

★P154

定義から明らかに,\(M^{\circ}\)は次の3条件によって特徴付けられる.
\begin{align*}
&M^{\circ}\subset M\tag{2.1}\\
&M^{\circ}\in\mathfrak{O}\tag{2.2}\\
&O \subset M,O\in\mathfrak{O} \Rightarrow O \subset M^{\circ}\tag{2.3}
\end{align*}

 
証明

\((M_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}\)を\(M\)に含まれる開集合から成る任意の集合族とすれば,示したいことは
\[M^{\circ}=\displaystyle\bigcup_{\lambda \in \Lambda}M_{\lambda}\Longleftrightarrow \begin{cases}M^{\circ}\subset M&(2.1)\\M^{\circ}\in\mathfrak{O}&(2.2)\\O\subset M,O\in\mathfrak{O} \Rightarrow O \subset M^{\circ}&(2.3)\end{cases}\]である.必要性はマジで明らかだから,十分性を示す.
\[M^{\circ}=\displaystyle\bigcup_{\lambda \in \Lambda}M_{\lambda}\Longleftrightarrow M^{\circ} \subset \displaystyle\bigcup_{\lambda \in \Lambda}M_{\lambda} \land \displaystyle\bigcup_{\lambda \in \Lambda}M_{\lambda} \subset M^{\circ}\]\(M^{\circ} \subset \displaystyle\bigcup_{\lambda \in \Lambda}M_{\lambda}\)であること:
\((2.1),~(2.2)\)により,\(M^{\circ}\)は\(M\)に含まれる開集合である.したがって\(M^{\circ}=M_{\lambda}\)となる\(\lambda\)が存在する.ゆえに\(M^{\circ} \subset \displaystyle\bigcup_{\lambda \in \Lambda}M_{\lambda}\)

\(\displaystyle\bigcup_{\lambda \in \Lambda}M_{\lambda} \subset M^{\circ}\)であること:
\(a\in\displaystyle\bigcup_{\lambda \in \Lambda}M_{\lambda}\)とすると,\(a\in M_{\lambda}\)となる\(\lambda \in \Lambda\)が存在する.\(M_{\lambda} \subset M,~M_{\lambda}\in \mathfrak{O}\)であるから,\((2.3)\)によって\(M_{\lambda} \subset M^{\circ}\).したがって\(a \in M^{\circ}\).ゆえに\(\displaystyle\bigcup_{\lambda \in \Lambda}M_{\lambda} \subset M^{\circ}\)

以上により\(M^{\circ}=\displaystyle\bigcup_{\lambda \in \Lambda}M_{\lambda}\)
証明終

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