タグ: 係数比較法

先の記事のアプローチは
\begin{align*}
&\forall l,m,n \in \mathbb{Z}[l\cdot10^{x-y}-nx+l\cdot10^{y-z}+m\cdot10^{x-z}=13l+36m+ny]\\
\Longleftrightarrow~&\forall l,m,n \in \mathbb{Z}[(10^{x-y}+10^{y-z})l+10^{x-z}m+(-x)n=13l+36m+yn]\\
\overset{(\ast)}{\Longleftrightarrow}~&\begin{cases}10^{x-y}+10^{y-z}=13\\10^{x-z}=36\\-x=y\end{cases}\\
\Longleftrightarrow~&\cdots\\
\Longleftrightarrow~&\begin{cases}x=\log_{10}3\\y=-\log_{10}3\\z=\log_{10}3-\log_{10}36\end{cases}
\lor\begin{cases}x=\log_{10}2\\y=-\log_{10}2\\z=\log_{10}2-\log_{10}36\end{cases}
\end{align*}というものでした。しかしここで気になるのは\((\ast)\)です。係数比較法を思い出すと，
\begin{align*}
&f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_2x^2+a_1x+a_0\\
&g(x)=b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+\cdots+b_2x^2+b_1x+b_0
\end{align*}とすれば

というものでしたが，すべての実数\(l,m,n\)（\(\forall l,m,n \in \mathbb{R}\)）ではなく，\(\forall l,m,n\in\mathbb{Z}\)すなわち’とびとび’の\(l,m,n\)で成り立つときも，やはり同じように係数が等しいと結論できるのでしょうか。ここに不安が残ります。

この問題を解決するために，次の定理を証明します。

証明

\(\Rightarrow\)は明らかであるから，\(\Leftarrow\)を示す．
\(n+1\)個の相異なる解を\(x_1,x_2,\cdots,x_{n+1}\)とする．仮定により
\begin{align*}
&f(x_1)=g(x_1),f(x_2)=g(x_2),\cdots,f(x_{n+1})=g(x_{n+1})\\
\Longleftrightarrow~&f(x_1)-g(x_1)=0,f(x_2)-g(x_2)=0,\cdots,f(x_{n+1})-g(x_{n+1})=0
\end{align*}であるから\[f(x)-g(x)=(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_{n+1})Q(x)\]とかける（因数定理）．ここで\(Q(x)\neq 0\)と仮定すると\(f(x)-g(x)\)は\(n+1\)次式となり矛盾する．したがって\(Q(x)=0\)．ゆえに\[f(x)=(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_{n+1})\cdot 0+g(x)\]より\(\forall x\in\mathbb{R}[f(x)=g(x)]\)を得る．

証明終

この定理によって，\[\forall l,m,n \in \mathbb{Z}[l\cdot10^{x-y}-nx+l\cdot10^{y-z}+m\cdot10^{x-z}=13l+36m+ny]\]は，例えば\(l\)に着目して\(l\)の1次の整式と見なせばこの式は2個以上の\(l\)について成り立ちますから（整数は無限個），上の定理によりすべての\(l\in \mathbb{R}\)で成り立つ，と言えます。\(m,n\)についても同様に考えれば，結局すべての\(l,m,n\in \mathbb{R}\)で成り立つ，すなわち
\begin{align*}
&\forall l,m,n \in \mathbb{Z}[l\cdot10^{x-y}-nx+l\cdot10^{y-z}+m\cdot10^{x-z}=13l+36m+ny]\\
\Longleftrightarrow~&\forall l,m,n \in \mathbb{R}[l\cdot10^{x-y}-nx+l\cdot10^{y-z}+m\cdot10^{x-z}=13l+36m+ny]
\end{align*}であることが分かります。これで上の\((\ast)\)が正しいことが確かめられました。

…と，結果的には正しかったのですが，厳密には上の議論をしなくてはならないので，やはり前回記事最初の解答の方が無難だと個人的に思います。