平面の方程式を作ってみます。
ここでは，平面はその平面の垂直方向とその平面が通る１点が定まれば決定することに着目します。平面の法線ベクトルを\(\overrightarrow{n}=(a,b,c)\)，平面が通る１点の座標を\(A(a_0,b_0,c_0)\)，平面上の任意の点を\(P(x,y,z)\)とおくことにします。\begin{align*}
&\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{n} = 0\\
\Longleftrightarrow~ &\left(\begin{array}{c} x-a_0 \\ y-b_0 \\ z-c_0 \end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}\right)= 0\\
\Longleftrightarrow~ &a(x-a_0)+b(y-b_0)+c(z-c_0)=0\\
\Longleftrightarrow~ &ax+by+cz-aa_0-bb_0-cc_0=0\\
\Longleftrightarrow~ &ax+by+cz+d=0
\end{align*}よって，平面の方程式は\(ax+by+cz+d=0\)と書けること，そしてその法線ベクトルが\((a,b,c)\)で表されることが分かりました（途中，\(-aa_0-bb_0-cc_0=d\)とおきました）。直線の方程式が\(ax+by+c=0\)と書けること，そしてその法線ベクトルが\((a,b)\)で表されることにそっくりですね。