条件付き確率の定義より，\[P(B|A)=\frac{P(B\cap A)}{P(A)}\]
両辺に\(P(A)\)を掛けることによって，\[P(A \cap B)=P(A)P(B|A)\]が得られます．（\(P(B \cap A)=P(A\cap B)\)としました）これを確率の乗法定理といいます．
確率の乗法定理（その１）\[P(A \cap B)=P(A)P(B|A)\]
１回目が当たるという事象を\(A\)，２回目が当たるという事象を\(B\)とします．
（２本とも当たる確率）
求める確率は\(P(A\cap B)\)です．確率の乗法定理より，\(P(A \cap B)=P(A)P(B|A)\)ですから，\(P(A)\)と\(P(B|A)\)を求めましょう．\(P(A)=\frac{3}{10}\)なのは問題ないでしょう．\(P(B|A)\)を求めます．これは「１回目が当たったという事実のもとで２回目が当たる確率」ですから，「引いたくじはもとに戻さない（当たりが１枚減る）」ことに注意せねばなりません．１回目に当たりを引けば，その後全体の枚数は９枚，当たりは２枚になりますから，\(P(B|A)=\frac{2}{9}\)です．したがって求める確率は\[P(A \cap B)=P(A)P(B|A)=\frac{3}{10}\cdot\frac{2}{9}=\frac{1}{15}\]となります．
（２回目が当たる確率）
求める確率は\(P(B)\)です．まず気をつけて欲しいのは，求めようとしているのは確率\(P(B)\)であって確率\(P(B|A)\)ではない，ということ．すなわち，確率を求めようとしている今この時，まだ１回目は引いてもいない！何もしていない！ということです．まだなにもしていない，くじの前で黙って腕を組んだまま２回目を予想している（\(P(B)\)を求めようとしている）…そんなイメージです．１回目は引いてもいないし眼中にもありません．２回目だけを見つめています．以上に留意して，実際に\(P(B)\)を求めてみましょう．確率の定義に従います．２回目に起こりうるすべての場合の数は？２回目において，１０枚のくじのどれが引きやすくどれが引きにくいなどということはありません（同様に確からしい）．よって１０通り．題意に適する場合の数は？当たり３枚のうちどれが引きやすくどれが引きにくいということはやはりありません．よって３通り．したがって求める確率は，\[P(B)=\frac{3}{10}\]となります．\(P(B|A)\neq P(B)\)であることに注目してください．
次の問題です．
（２本とも当たる確率）
求める確率は\(P(A\cap B)\)です．確率の乗法定理より，\(P(A \cap B)=P(A)P(B|A)\)ですから，\(P(A)\)と\(P(B|A)\)を求めましょう．\(P(A)=\frac{3}{10}\)なのは問題ないでしょう．\(P(B|A)\)を求めます．これは「１回目が当たったという事実のもとで２回目が当たる確率」なわけですが，今回は引いたくじをもとに戻しています．ですから，２回目の状況は１回目の状況となんら変化がないことになります．したがって，\(P(B|A)=\frac{3}{10}\)となります．よって，求める確率は\[P(A \cap B)=P(A)P(B|A)=\frac{3}{10}\cdot\frac{3}{10}=\frac{9}{100}\]となります．
（２回目が当たる確率）
求める確率は\(P(B)\)です．前問同様に考えます．２回目に起こりうるすべての場合の数は？２回目において１０枚のくじのどれもが同様に確からしい．よって１０通り．題意に適する場合の数は？当たり３枚のうちどれもがやはり同様に確からしい．よって３通り．したがって求める確率は，\[P(B)=\frac{3}{10}\]となります．前問と全く同じです．
さて，今回は\(P(B|A)\)，\(P(B)\)はどちらも\(\frac{3}{10}\)ですから\(P(B|A)=P(B)\)です．この，\[P(B|A)=P(B)\]が成り立つとき，事象\(A\)と事象\(B\)は独立であるといいます．この式を「翻訳」すると，「\(B\)の確率は\(A\)が起きたかどうかなんて関係ない」と，すなわち「事象\(A\)と事象\(B\)が互いに影響を及ぼしていない」と読み取ることができます．
以上の準備のもと，次の定理が成り立ちます．
確率の乗法定理（その２）事象\(A\)と事象\(B\)が独立，すなわち\(P(B|A)=P(B)\)のとき\[P(A \cap B)=P(A)P(B)\]
高校教科書では上の話を，「２つの試行同士が互いに影響を与えない」ことを「独立」であると定義し，そのもとで確率の乗法定理（その２）を紹介しています．そしてこの話とは別の話題として（大分後になってから）「条件付き確率」から「確率の乗法定理（その２）」を導く，という順序で説明しています．なので，確率の乗法定理が２回（しかもそのあいだかなり間を挟んでから）登場することになり，それらにどのような関係があるのかがいまいち見えづらいのではないでしょうか．
しかし，上でみたように\[\text{条件付き確率の定義}\rightarrow\text{確率の乗法定理その１}\rightarrow\text{「独立」の定義}\rightarrow\text{確率の乗法定理その２}\]という流れで理解すると，高校教科書では「別々のもの」として載っている２つの確率の乗法定理が同じもの（その１を特殊化したものがその２）であることが明解で，論理的にはしっくりくると個人的に思います．
もっとも，実用上においては（実際問題を解く上では）どちらの理解でも大差はないと思いますが…