\(n\)個のデータ\(x_1,x_2,\cdots,x_n\)，\(y_1,y_2,\cdots,y_n\)（それぞれ平均を\(\mu,\lambda\)とする）の相関係数\(\rho(x,y)\)がなぜ$$-1\leq\rho(x,y)\leq1$$なのか，質問を受けたので，このブログでの数式表示の練習も兼ねて書いてみようと思います．
（証明）
天下り的ではあるが，まず，2つのベクトル$$\vec{u}=(x_1-\mu,x_2-\mu,\cdots,x_n-\mu),~\vec{v}=(y_1-\lambda,y_2-\lambda,\cdots,y_n-\lambda)$$を用意し，これらの内積を考える．すると，
$$
\begin{align}
\vec{u}\cdot\vec{v}&=(x_1-\mu)(y_1-\lambda)\cdots(x_n-\mu)(y_n-\lambda)\\
&=\sum_{k=0}^{n}(x_k-\mu)(y_k-\lambda)\\
\end{align}
$$
となる．他方，\(\vec{u}\cdot\vec{v}\)は，内積の公式（高校教科書では「定義」）より
\begin{align}
\vec{u}\cdot\vec{v}&=\sqrt{(x_1-\mu)^2+(x_2-\mu)^2+\cdots+(x_n-\mu)^2}\sqrt{(y_1-\lambda)^2+(y_2-\lambda)^2+\cdots+(y_n-\lambda)^2}\cos\theta\\
&=\sqrt{\sum_{k=0}^{n}(x_k-\mu)^2}\sqrt{\sum_{k=0}^{n}(y_k-\lambda)^2}\cos\theta\\
\end{align}
$$
ゆえに，
$$\cos\theta=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\sqrt{\sum_{k=0}^{n}(x_k-\mu)^2}\sqrt{\sum_{k=0}^{n}(y_k-\lambda)^2}}$$
を得る．\(-1\leq\cos\theta\leq1\)であるから，上式は
$$-1\leq\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\sqrt{\sum_{k=0}^{n}(x_k-\mu)^2}\sqrt{\sum_{k=0}^{n}(y_k-\lambda)^2}}\leq1$$
である．前半に得た式をこの不等式に代入すれば，
$$-1\leq\frac{\sum_{k=0}^{n}(x_k-\mu)(y_k-\lambda)}{\sqrt{\sum_{k=0}^{n}(x_k-\mu)^2}\sqrt{\sum_{k=0}^{n}(y_k-\lambda)^2}}\leq1$$
分母分子を\(\frac{1}{n}\)で割って，
$$-1\leq\frac{\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n}(x_k-\mu)(y_k-\lambda)}{\frac{1}{n}\sqrt{\sum_{k=0}^{n}(x_k-\mu)^2}\sqrt{\sum_{k=0}^{n}(y_k-\lambda)^2}}\leq1\\
-1\leq\frac{\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n}(x_k-\mu)(y_k-\lambda)}{\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n}(x_k-\mu)^2}\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n}(y_k-\lambda)^2}}\leq1$$
すなわち
$$-1\leq\frac{Cov(x,y)}{\sigma(x)\sigma(y)}\leq1$$
よって，$$-1\leq\rho(x,y)\leq1$$を得る．（証明終）
結構疲れます＾＾；
ベクトルを使って統計の性質を証明するなんて，面白いです．