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ななんだって！加法定理忘れた？！サイタコスモスどーのこーの？あーやめやめ。作りましょう。教科書には詳しく書いてありますが，それをここで繰り返してもつまらないのでちょっと違う証明を考えてみます。

証明

単位円周上に下図のような点\(\mathrm{P}\)があったとします．

ここに，基本ベクトル\(\overrightarrow{e_1}=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \end{array} \right),\overrightarrow{e_2}=\left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ \end{array} \right)\)をそれぞれ原点を中心に\(\alpha\)だけ回転させたベクトル\(\overrightarrow{\mathrm{OA}},\overrightarrow{\mathrm{OB}}\)を考え，図示します．\(\mathrm{A}(\cos\alpha,~\sin\alpha),~\mathrm{B}(\cos\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right),~\sin\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right))\)ですから，それらの成分は\[\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\left(\begin{array}{c} \cos\alpha \\ \sin\alpha \\ \end{array} \right),\quad\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\left(\begin{array}{c} \cos\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right) \\ \sin\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right) \\ \end{array} \right)=\left(\begin{array}{c} -\sin\alpha \\ \cos\alpha \\ \end{array} \right)\]です．

この\(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\)，\(\overrightarrow{\mathrm{OB}}\)を基底とする新たな座標系の下でこの点\(\mathrm{P}\)を捉え直します．この新座標系における図の点\(\mathrm{P}\)の座標は，\((\cos\beta,~\sin\beta)\)，すなわち\[
\begin{align*}
\overrightarrow{\mathrm{OP}}
&=\cos\beta\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\sin\beta\overrightarrow{\mathrm{OB}}\\
&=\cos\beta\left(\begin{array}{c} \cos\alpha \\ \sin\alpha \\ \end{array} \right)+\sin\beta\left(\begin{array}{c} -\sin\alpha \\ \cos\alpha \\ \end{array} \right)\\
&=\left(\begin{array}{c} \cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta \\ \sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta \\ \end{array} \right)
\end{align*}\]です．

さらにこれは，
\begin{align*}
\overrightarrow{\mathrm{OP}}&=\left(\begin{array}{c} \cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta \\ \sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta \\ \end{array} \right)\\
&=(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta)\left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \end{array} \right)+(\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta)\left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ \end{array} \right)\\
&=(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta)\overrightarrow{e_1}+(\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta)\overrightarrow{e_2}
\end{align*}
これは，点\(\mathrm{P}\)が，\(\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2}\)を基底とする（いつもの）座標系においてその座標が\[(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta,\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta)\tag{1}\]であることを示しています．

他方，\(\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2}\)を基底とする座標系における点\(\mathrm{P}\)の座標は\begin{align*}\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\left(\begin{array}{c} \cos(\alpha+\beta) \\ \sin(\alpha+\beta) \\ \end{array} \right)=&\cos(\alpha+\beta)\left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \end{array} \right)+\sin(\alpha+\beta)\left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \end{array} \right)\\ =& \cos(\alpha+\beta)\overrightarrow{e_1}+\sin(\alpha+\beta)\overrightarrow{e_2}\end{align*}より\[(\cos(\alpha+\beta),\sin(\alpha+\beta))\tag{2}\]であったから，\((1),(2)\)によって

\begin{eqnarray}
\begin{cases}
\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta & \\
\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta &
\end{cases}
\end{eqnarray}

が得られます．

証明終

説明しながらの記述なので面倒くさく見えるかもしれませんが，実際やってみると計算らしい計算なしにすぐに作れます。おすすめ。ちなみに\(\alpha-\beta\)の場合については上で得られた式の\(\beta\)を\(-\beta\)に変えれ直ちに手に入ります。（関連：斜交座標）

サイタコスモスコスモスサイタって覚え方を初めて聞いたとき「コスモスサイタサイタコスモスでも通じるじゃん，覚え方として全く意味なくね…？」と思ったし今でもそう思う。

上の\(2\)つの放物線と直線で囲まれる部分の面積\(S\)は，\[S = \frac{|a’-a|(\beta-\alpha)^3}{6}\]で表される．

証明

被積分関数\(g(x)-f(x)\)がどんな関数になるかを考える．これは，

• • • \(2\)次式で，
    • 次数が一番大きい項の係数は\(a’-a\)で，
    • \(x=\alpha,x=\beta\)で交わる，すなわち\(g(x)-f(x)=0\)を解いて得られる\(2\)つの解が\(\alpha,\beta\)である

ことに着目すると，\[g(x)-f(x) = (a’-a)(x-\alpha)(x-\beta)\]とかける．したがって求める部分の面積は
\begin{align*}
&\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} (a’-a)(x-\alpha)(x-\beta) dx \\
=~&\displaystyle (a-a’)\int_{\alpha}^{\beta} -(x-\alpha)(x-\beta) dx\\
=~&\frac{(a-a’)(\beta-\alpha)^3}{6}\tag{1}\\
=~&\frac{|a’-a|(\beta-\alpha)^3}{6}
\end{align*}証明終

\(|a’-a|\)はもちろん\(|a-a’|\)でもいいです．要は上下関係なく機械的に‘係数の差’の絶対値をとればいい，ということです．\((1)\)はここの公式によります．

数学Ⅱ教科書の「軌跡と領域」における最後に登場する中ボス的な有名問題です．いわゆる「線型計画法」によって解く問題ですね．「領域を描いて～直線がその領域に触れる範囲内で切片が最大・最小のものを答えて～」みたいなやつ．

これを教科書のように絵に頼らず，論理式で記述してみます．

解答

\begin{align*}
&x+yがkという値をとる\\
\Longleftrightarrow~& \exists x \exists y [x+y=k \land x \geq 0 \land y \geq 0 \land 2x+y \leq 8 \land 2x+3y \leq 12]\tag{1}\\
\Longleftrightarrow~& \exists x \exists y[y=k-x \land x \geq 0 \land y \geq 0 \land 2x+y \leq 8 \land 2x+3y \leq 12]\tag{\(\ast\)}\\
\Longleftrightarrow~& \exists x [x \geq 0 \land k-x \geq 0 \land 2x+(k-x) \leq 8 \land 2x+3(k-x) \leq 12\tag{2}]\\
\Longleftrightarrow~& \exists x [x \geq 0 \land k \geq x \land x \leq 8-k \land 3k-12 \leq x]\\
\Longleftrightarrow~& \exists x [(x \geq 0 \land k \geq x \land x \leq 8-k \land 3k-12 \leq x)\land (3k-12<0 \lor 0 \leq 3k-12)]\tag{3}\\
\Longleftrightarrow~& \exists x [(x \geq 0 \land k \geq x \land x \leq 8-k \land 3k-12 \leq x \land 3k-12<0) \\
&\lor (x \geq 0 \land k \geq x \land x \leq 8-k \land 3k-12 \leq x \land 0 \leq 3k-12)]\tag{4}\\
\Longleftrightarrow~& \exists x [x \geq 0 \land k \geq x \land x \leq 8-k \land 3k-12 \leq x \land 3k-12<0] \\
&\lor \exists x[x \geq 0 \land k \geq x \land x \leq 8-k \land 3k-12 \leq x \land 0 \leq 3k-12]\tag{5}\\
\Longleftrightarrow~& \exists x [0 \leq x \leq k \land 3k-12 \leq x \leq 8-k \land 3k-12<0] \\
&\lor \exists x[0 \leq x \leq k \land 3k-12 \leq x \leq 8-k \land 0 \leq 3k-12]\\
\Longleftrightarrow~& (0 \leq k \land 3k-12 \leq 8-k \land 3k-12<0) \\
&\lor (0 \leq k \land 3k-12 \leq 8-k \land 0 \leq 3k-12)\tag{6}\\
\Longleftrightarrow~& (0 \leq k \land k \leq 5 \land k < 4) \lor (0 \leq k \land k \leq 5 \land 4 \leq k)\\
\Longleftrightarrow~& 0 \leq k < 4 \lor 4 \leq k \leq 5\\
\Longleftrightarrow~& 0 \leq k \leq 5
\end{align*}

したがって，最大値\(5\)，最小値\(0\)．

\((1)\)は式の主張そのままなのですが，慣れないとこの言い換えが一番難しいかも知れません．この記事と同じ考え方です．
\((2)\)は存在記号の処理
\((3)\)は恒真条件\(3k-12<0 \lor 0 \leq 3k-12\)の追加
\((4)\)は分配法則
\((5)\)は存在記号の分配
\((6)\)はこちらの記事

…と，この解法はもはや完全に趣味ですね＾＾；大人しく教科書と同じく線型計画法で解いた方が明快でスマートだと思います．しかし，この解法のおもしろポイントは絵に頼らない（数直線はイメージしますが…）で論理を’計算’する感覚で機械的に答えにたどりつく，という点です（以前紹介した軌跡の問題と同じ）．視覚的に解く以外にも，こういった論理だけでゴリゴリ攻める姿勢も身に付けておいても決して無駄にはならないと思います．

ちなみに教科書の解法（線型計画法）は\((\ast)\)の段階で視覚化を考えた，と考えられます．ですからいずれの解法にしても\((1)\)の言い換えは本来教科書レベルであっても必要なものだと思います．例によって「解ければいいや」で覚えて済ましがちですけどね．

極めてよく使う同値変形\[p \rightarrow q \Longleftrightarrow \overline{p}\lor q\]を確認してみましょう．真理値表を書いて調べてみます．実際に紙の上で調べる際の手順を再現してみます（一緒に書いてみてくださいね）．

まず，命題\(p\)と命題\(q\)の真偽の組合せは以下のように\(2\times 2\)通りあります．

次に，\(p \rightarrow q\)について調べたいので，最上行にそれを書きこみましょう．\(\rightarrow\)の定義から，その真理値は以下のように書けます（\(p\)が真で\(q\)が偽であるときのみ，\(p \rightarrow q\)は偽であるのでした）．

次に，調べたい\(\overline{p}\lor q\)を同じく最上行に書き込みます．

いきなり\(\overline{p}\lor q\)の真理値を書き込むのは難しいので，順を追って書き込むことにします．まずは\(\overline{p}\)から．これは簡単ですね．定義により，次のように書き込めます．

次に\(q\)．これはそのまま．

いよいよ\(\overline{p}\lor q\)の真理値．\(\lor\)の定義により，

さて，\(p \rightarrow q\)と\(\overline{p}\lor q\)の真理値をながめてみましょう．真理値が一致しています．すなわちこの二つの命題は同値であることが確認できます．

※ 本来ならば，\(p,~\overline{p},~\overline{p}\lor q\)の真理値はそれぞれ別々の列に書くのが正しい（と思う）のですが，面倒なので上のように略記しています．

この公式を教科書ではどのように説明しているかというと…

\(y=2x^2,~y=2x^2+3\)という具体例を持ち出してこの二者の関係を調べて（表または実際にグラフを描き），そこから\(y=2x^3+3\)のグラフは，\(y=2x^2\)のグラフを\(y\)軸方向に\(3\)だけ平行移動したものである，と結論し，
\[\downarrow\]
\(y=2x^2,~y=2(x-3)^2\)という具体例を持ち出し，表からこの二者の関係を調べて\(y=2(x-3)^3\)のグラフは，\(y=2x^2\)のグラフを\(x\)軸方向に\(3\)だけ平行移動したものである，と結論し，
\[\downarrow\]
そしてこの二つから上の公式を結論しています（詳しくはお手持ちの教科書参照）．

この公式に限らず，高校の教科書は\[\textbf{具体例}\rightarrow\textbf{一般論}\]という書き方をしています．「この場合はこうだよね～，あの場合もこうだよね～，ということは一般にこう言えるよね～」という論法ですね．これで「ああなるほど！」と思えればいいんでしょうけど，なんか騙された気がするひとも少なくないはず．実際，数学を学ぶ姿勢としてはこれだけでは納得できない（しない）方がむしろよいと思います．二，三の例が正しいからとしって他の例も正しいとは限りませんからね．

というわけで証明（※注意 pdfファイルです）

いわゆる「教科書通り」にやるとこういったことを飛ばすことになるんですが，それが「数学を勉強している」ことになるんでしょうか…？もっとも，こういった話はテストに出ない（出せない）わけですからやったところでスコアにはならない．その意味においてはやる意味がない，のかもしれませんが…．でも，天下り的に与えられた解決策をただ覚えるだけではないある意味メタ的な能力を培うことも数学を学ぶ重要な意義のひとつだと思うんですが．まあ，教える側，教わる側共々様々な事情・制約がありますから，難しい問題です．