\((A,~B)\)という切断を考える．仮定より\(A\)は上に有界だから上限\(\sup A=\alpha\)が存在する．この\(\alpha\)が，\(A,~B\)のどちらに属するかを場合分けして考える．
\((\mathrm{I})~\)\(\alpha \in A\)のとき．\(\alpha = \max{A}\)である．
\((\mathrm{I\hspace{-.1em}I})~\)\(\alpha \in B\)のとき．
まず，\(\alpha\)は\(A\)の上限であるから\[\forall \alpha’ <\alpha \exists x \in A \big[\alpha’ < x\big]\]が成り立つ．この任意の\(\alpha'(<\alpha)\)に応じて定まる\(x(\in A)\)を\(x_{\alpha’}\)とおくことにする．すると\(\alpha\)より小さい任意の\(\alpha’\)に対して\[\alpha’ < x_{\alpha’}\in A\]と書けることになる．ここで，切断の意味（\(A\)の元はすべて\(B\)のどの元よりも小さい）を考えると，\(x_{\alpha’}\in A\)は\(B\)のどの元よりも小さい．そんな\(x_{\alpha’}\)よりも小さい\(\alpha’\)も当然\(B\)のどの元よりも小さい．つまり\(\alpha’ \in A\)すなわち\(\alpha’ \notin B\)となる．\(\alpha’\)は\(\alpha\)より小さい任意の数であったことを思い出すと結局\[\forall \alpha’ < \alpha \big[\alpha’ \notin B\big]\]と書ける．これと最初の場合分け：\(\alpha \in B\)を合わせて考える．\(\alpha\)より小さい数，\(\alpha\)，\(\alpha\)より大きい数，このうち「\(\alpha\)より小さい数」が\(B\)に属さず，\(\alpha\)が\(B\)に属しているから，\(\alpha\)が\(B\)の最小数となる．この二つの場合分けにより，切断\(A,~B\)において，「\(A\)に最大数がある」か「\(B\)に最小数がある」かのどちらかが起こることがわかる（デデキントの切断）．