以下，\(x\in \{x_1,~x_2,~x_3,\cdots ,x_n\}\)とする．
\(\overline{\forall x~p(x)} \Longleftrightarrow \exists x~\overline{p(x)}\)
証明
\[
\begin{align*}
&\overline{\forall x~p(x)}\\
\Longleftrightarrow~&\overline{p(x_1)\land p(x_2)\land p(x_2)\land \cdots \land p(x_n)}\\
\Longleftrightarrow~&\overline{p(x_1)}\lor \overline{p(x_2)}\lor \overline{p(x_2)}\lor \cdots \lor\overline{p(x_n)}\\
\Longleftrightarrow~&\exists x~\overline{p(x)}&\textbf{（証明終）}
\end{align*}
\]
\(\overline{\exists x~p(x)} \Longleftrightarrow \forall x~\overline{p(x)}\)
証明
\[
\begin{align*}
&\overline{\exists x~p(x)}\\
\Longleftrightarrow~&\overline{p(x_1)\lor p(x_2)\lor p(x_2)\lor \cdots \lor p(x_n)}\\
\Longleftrightarrow~&\overline{p(x_1)}\land \overline{p(x_2)}\land \overline{p(x_2)}\land \cdots \land\overline{p(x_n)}\\
\Longleftrightarrow~&\forall x~\overline{p(x)}&\textbf{（証明終）}
\end{align*}
\]
\(\forall\)（すべての）を否定すると\(\exists\)（存在する）となり，\(\exists\)（存在する）を否定すると\(\forall\)（すべての）となります．