難しさの原因

松坂和夫先生の線型代数に,次のような命題があった.

\(V\)をベクトル空間とするとき,

実数\(c\)と\(V\)の元\(\boldsymbol{v}\)に対して,もし\(c\boldsymbol{v}=0\)が成り立つならば,\(c=0\)または\(\boldsymbol{v}=0\)

で,その証明の冒頭が,次のようなものだった.

\(c\boldsymbol{v}=0,c\neq 0\)とする.そのとき\(v=0\)であることを証明すればよい.

線型代数は理工系学部1年生,つまりほぼ高校生が学ぶ科目なので,ここで「?」となる人は少なくないと思う.

ここを論理式で記述してみます.「\(c\boldsymbol{v}=0\)が成り立つならば,\(c=0\)または\(\boldsymbol{v}=0\)」という日本語は,
\[c\boldsymbol{v}=0 \Longrightarrow c=0 \lor \boldsymbol{v}=0\]ということですから,これを同値変形してみます.
\begin{align}
&c\boldsymbol{v}=0 \Longrightarrow c=0 \lor \boldsymbol{v}=0\\
\Longleftrightarrow~ &\overline{c\boldsymbol{v}=0} \lor ( c=0 \lor \boldsymbol{v}=0 )&\qquad\text{(\(\Rightarrow\)の定義)}\\
\Longleftrightarrow~ &(\overline{c\boldsymbol{v}=0} \lor c=0 ) \lor \boldsymbol{v}=0 &\qquad\text{(結合法則)}\\
\Longleftrightarrow~ &(\overline{c\boldsymbol{v}=0 \land c\neq 0} ) \lor \boldsymbol{v}=0 &\qquad\text{(ドモルガンの法則)}\\
\Longleftrightarrow~ &c\boldsymbol{v}=0 \land c\neq 0 \Longrightarrow \boldsymbol{v}=0 &\qquad\text{(\(\Rightarrow\)の定義)}\\
\end{align}

となり納得できます.こうしてみるとやはり論理学あっての数学だなと改めて感じます.しかしこういった話題は数学系ならば大学初年度で扱うにもかかわらず高校段階では論理学を学ぶ機会はほとんどありません.理工系学部,とくに数学系志望者のために高校のカリキュラムにも論理学をもう少しまともに取り入れるべきではないでしょうか?公式の使い方だの数式処理の仕方に終始することももちろん大事ではありますが….「大学へ行って数学が分からなくなった」という学生(かつての自分含め)を量産する責任の一端は高校の授業・高校のカリキュラムにもある気がします.

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