投稿者: shotasasaki

\(x\)を１つの基本近傍系\(\mathbb{V}^*(x)\)を知れば，それから直ちに，\(x\)の（全）近傍系\(\mathbb{V}^*(x)\)を求めることができる．実際，定義から明らかに\(\mathbb{V}^*(x)\)はある\(U\in\mathbb{V}^*(x)\)を含むような\(S\)の部分集合全体から成る集合系となるからである：\[\mathbb{V}(x)=\{V|\exists U \in \mathbb{V}^*(x)(U \subset V)\}\]

証明

\(\mathbb{V}(x) \subset \{V|\exists U \in \mathbb{V}^*(x)(U \subset V)\}\)であること：
\begin{align*}
\text{\(\mathbb{V}^*(x)\)が\(x\)の基本近傍系}\Longleftrightarrow~&\forall V \in \mathbb{V}(x) \exists U \in \mathbb{V}^*(x)[U \subset V]\\
\Longleftrightarrow~&\forall V [V \in \mathbb{V}(x) \rightarrow \exists U \in \mathbb{V}^*(x)[U \subset V]]\\
\Longleftrightarrow~& V \in \mathbb{V}(x) \Rightarrow \exists U \in \mathbb{V}^*(x)[U \subset V]\\
\Longleftrightarrow~& \mathbb{V}(x) \subset \{V|\exists U \in \mathbb{V}^*(x)[U \subset V]\}
\end{align*}

\(\{V|\exists U \in \mathbb{V}^*(x)(U \subset V)\} \subset \mathbb{V}(x)\)であること：
\(V \in \{V|\exists U \in \mathbb{V}^*(x)[U \subset V]\}\)を任意にとる．このとき\(\exists U \in \mathbb{V}^*(x)[U \subset V]\)．\(\mathbb{V}^*(x)\)は基本近傍系であるから，その定義により\(\mathbb{V}^*(x) \subset \mathbb{V}(x)\)．よって\(U \in \mathbb{V}(x)\)．また\(U \subset V\)であるから，定理\(10(\mathbf{V}\mathrm{ii})\)により\(V \in \mathbb{V}(x)\)．したがって\(\{V|\exists U \in \mathbb{V}^*(x)(U \subset V)\} \subset \mathbb{V}(x)\)．

以上により\[\mathbb{V}(x)=\{V|\exists U \in \mathbb{V}^*(x)(U \subset V)\}\]

証明終

\(\mathfrak{B}\)が\(\mathfrak{O}\)の基底ならば，明らかに\(\mathfrak{O}=\mathfrak{O}(\mathfrak{B})\)

証明

\(\mathfrak{B}\)が\(\mathfrak{O}\)の基底であるとする．すなわち，\(\mathfrak{B} \subset \mathfrak{O}\)で，\(\forall O \in \mathfrak{O}\exists (W_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda} [O=\displaystyle \bigcup_{\lambda \in \Lambda}W_{\lambda},W_{\lambda}\in \mathfrak{B}]\)とする．示したいことは\(\mathfrak{O}=\mathfrak{O}(\mathfrak{B}) \Longleftrightarrow \mathfrak{O} \subset \mathfrak{O}(\mathfrak{B}), \mathfrak{O}(\mathfrak{B}) \subset \mathfrak{O}\)である．

\(\mathfrak{O} \subset \mathfrak{O}(\mathfrak{B})\)であること：
\((\mathfrak{O}_{\mu})_{\mu \in M}\)を\(\mathfrak{B}\)を含む位相から成る任意の集合族とすると，\(\mathfrak{O}(\mathfrak{B})=\displaystyle\bigcap_{\mu \in M}\mathfrak{O}_{\mu},\mathfrak{B}\subset \mathfrak{O}_{\mu}\)と表せる．\(O \in \mathfrak{O}\)とする．このとき，仮定により\(O=\displaystyle\bigcup_{\lambda \in \Lambda}{W}_{\lambda}\)と書ける．任意の\(\lambda \in \Lambda\)に対して\(W_{\lambda} \in \mathfrak{B} \subset \mathfrak{O}_{\mu}~(\forall \mu \in M)\)．よって\(\mathfrak{O}_{\mu}\)は位相だから\((\mathbf{Oiii})\)により\(\displaystyle\bigcup_{\lambda \in \Lambda}W_{\lambda} \in \mathfrak{O}_{\mu}~(\forall \mu \in M)\)．ゆえに，\(O=\displaystyle \bigcup_{\lambda \in \Lambda}W_{\lambda} \in \displaystyle\bigcap_{\mu \in M}\mathfrak{O}_{\mu} = \mathfrak{O}(\mathfrak{B})\)．

\(\mathfrak{O}(\mathfrak{B}) \subset \mathfrak{O}\)であること：
\(O \in \mathfrak{O}(\mathfrak{B})\left(=\displaystyle\bigcap_{\mu \in M}\mathfrak{O}_{\mu}\right)\)とする．仮定により\(\mathfrak{B}\subset \mathfrak{O}\)．ここで，\((\mathfrak{O}_{\mu})_{\mu \in M}\)は\(\mathfrak{B}\)を含む位相から成る任意の集合族であったから，\(\mathfrak{O} \in \{\mathfrak{O}_{\mu}\}_{\mu \in M}\)．したがって\(O \in \mathfrak{O}(\mathfrak{B})=\displaystyle\bigcap_{\mu \in M}\mathfrak{O}_{\mu}\subset \mathfrak{O}\)．

証明終

しかし，\(\mathfrak{O’} \supset \displaystyle \bigcup_{\alpha \in A} \mathfrak{O}_{\alpha}\)となるような\(\mathcal{J}\)の元\(\mathfrak{O’}\)は必ず存在するから（中略），そのような\(\mathfrak{O}’\)全部の共通部分を\(\mathfrak{O}^{(2)}\)とすれば，明らかに\(\mathfrak{O}^{(2)}\)はどの\(\mathfrak{O}_{\alpha}\)よりも強い位相で，しかもどの\(\mathfrak{O}_{\alpha}\)よりも強い位相のうちでは最も弱い位相となる．

証明

前半．\((\mathfrak{O’}_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda}\)を\(\mathfrak{O’}\supset \displaystyle \bigcup_{\alpha \in A} \mathfrak{O}_{\alpha}\)となるような\(\mathcal{J}\)の元\(\mathfrak{O’}\)から成る任意の集合族とする．\((\mathfrak{O}^{(2)}:=)\displaystyle \bigcap_{\lambda \in \Lambda} \mathfrak{O’}_{\lambda} \supset \displaystyle \bigcup_{\alpha \in A}\mathfrak{O}_{\alpha} \supset \mathfrak{O}_{\alpha}\)．なぜなら，\(O\in\displaystyle \bigcup_{\alpha \in A}\mathfrak{O}_{\alpha}\)とすれば仮定により\(\forall \lambda \in \Lambda [\mathfrak{O’}_{\lambda} \supset \displaystyle \bigcup_{\alpha \in A} \mathfrak{O}_{\alpha} \ni O]\)だから\(\displaystyle \bigcap_{\lambda \in \Lambda} \mathfrak{O’}_{\lambda} \ni O\)．よって\(\forall \alpha \in A [\mathfrak{O}^{(2)}\supset \mathfrak{O}_{\alpha}]\)．ゆえに\(\mathfrak{O}^{(2)}\)は（位相であるとすれば）どの\(\mathfrak{O}_{\alpha}\)よりも強い位相である．

次にこの\(\mathfrak{O}^{(2)}\)が位相となることを示す．

\((\mathrm{Oi})\)　任意の\(\lambda \in \Lambda\)に対して，\(\mathfrak{O’}_{\lambda}\in \mathcal{J}\)であるから，\(\phi,S \in\mathfrak{O’}_{\lambda}\)．ゆえに\(\phi,S \in \displaystyle\bigcap_{\lambda \in \Lambda}\mathfrak{O’}_{\lambda}=\mathfrak{O}^{(2)}\)
\((\mathrm{Oii})\)　\(\displaystyle O_1,O_2 \in \bigcap_{\lambda \in \Lambda}\mathfrak{O’}_{\lambda}=\mathfrak{O}^{(2)}\)とする．このとき，すべての\(\lambda \in \Lambda\)に対して，\(O_1,O_2 \in \mathfrak{O’}_{\lambda}\)である．\(\mathfrak{O’}_{\lambda}\in \mathcal{J}\)であるから，\(O_1 \cap O_2 \in \mathfrak{O’}_{\lambda}\)．したがって\(O_1 \cap O_2 \in \displaystyle\bigcap_{\lambda \in \Lambda}\mathfrak{O’}_{\lambda}=\mathfrak{O}^{(2)}\)
\((\mathrm{Oiii})\)　\((O_{\mu})_{\mu \in M}\)を\(\mathfrak{O}^{(2)}=\displaystyle\bigcap_{\lambda \in \Lambda}\mathfrak{O’}_{\lambda}\)の元からなる任意の集合族とする．このとき，すべての\(\lambda \in \Lambda\)に対して，\(O_\mu \in \mathfrak{O’}_{\lambda}~(\forall \mu \in M)\)である．\(\mathfrak{O’}_{\lambda} \in \mathcal{J}\)であるから，\(\displaystyle\bigcup_{\mu \in M}O_\mu \in \mathfrak{O’}_{\lambda}\)．\(\lambda\)は任意であるから，\(\displaystyle\bigcup_{\mu \in M}O_\mu \in \bigcap_{\lambda \in \Lambda}\mathfrak{O’}_{\lambda} = \mathfrak{O}^{(2)}\)．
以上により\(\mathfrak{O}^{(2)}\)は位相である．

後半．どの\(\mathfrak{O}_{\alpha}\)よりも強い位相を\(\mathfrak{O}”\)とおく．すなわち\(\forall \alpha \in A[\mathfrak{O}_{\alpha} \subset \mathfrak{O”}]\)とする．このとき，\(\displaystyle \bigcup_{\alpha \in A}\mathfrak{O}_{\alpha} \subset \mathfrak{O”}\)．ここで，\((\mathfrak{O’}_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda}\)は\(\mathfrak{O’} \supset \displaystyle \bigcup_{\alpha \in A}\mathfrak{O}_{\alpha}\)となるような\(\mathcal{J}\)の元\(\mathfrak{O’}\)から成る任意の集合族であったから，\(\mathfrak{O}” \in \{\mathfrak{O’}_{\lambda}\}_{\lambda \in \Lambda}\)．したがって\(\mathfrak{O}^{(2)}:=\displaystyle \bigcap_{\lambda \in \Lambda}\mathfrak{O’}_{\lambda} \subset \mathfrak{O”}\)．よって\(\mathfrak{O}^{(2)}\)はどの\(\mathfrak{O}_{\alpha}\)よりも強い位相のうちで最も弱い位相となる．

証明終

この\(\mathfrak{O}^{(1)}\)は，（中略）また明らかに，どの\(\mathfrak{O}_\alpha\)よりも弱い位相のうちでは最も強いものである．

証明

どの\(\mathfrak{O}_\alpha\)よりも弱い位相を\(\mathfrak{O}’\)とおく．すなわち\(\forall a \in A [\mathfrak{O}’ \subset \mathfrak{O}_\alpha]\)とする．このとき，\(\mathfrak{O}^{(1)}:= \displaystyle \bigcap_{\alpha \in A}\mathfrak{O}_{\alpha} \supset \mathfrak{O}’\)である．実際，\(O \in \mathfrak{O’}\)とすれば，\(\forall a \in A [\mathfrak{O}’ \subset \mathfrak{O}_\alpha]\)により\(\forall a \in A [O \in \mathfrak{O}_{\alpha}]\)．ゆえに\(O \in \displaystyle\bigcap_{\alpha \in A}\mathfrak{O}_{\alpha}\)．したがって\(\mathfrak{O}^{(1)} \supset \mathfrak{O}’\)．
\(\mathfrak{O’}\)は（どの\(\mathfrak{O}_{\alpha}\)よりも弱い）任意の位相であったから，\(\mathfrak{O}^{(1)}\)が（どの\(\mathfrak{O}_{\alpha}\)よりも弱い位相のうちで）最も強い位相となる．

証明終

証明

\begin{align*}
&A \subset B \Longrightarrow A^i \subset B^i \\
\Longleftrightarrow~ &A \subset B \Longrightarrow A^{cac} \subset B^{cac}\\
\Longleftrightarrow~ &A \subset B \Longrightarrow A^{ca} \supset B^{ca}
\end{align*}\(A,B\)をそれぞれ\(N^c,M^c\)にかきかえると
\begin{align*}
&N^c \subset M^c \Longrightarrow N^{cca} \supset M^{cca} \\
\Longleftrightarrow~ &M \subset N \Longrightarrow M^{a} \subset N^{a}
\end{align*}

証明終

\(M\)の集積点は明らかに\(M\)の触点である．

 
証明
\begin{align*}
&M-\{x\} \subset M\\
\Longleftrightarrow~&(M-\{x\})^{c} \supset M^{c}\\
\Longleftrightarrow~&(M-\{x\})^{ci} \supset M^{ci}\\
\Longleftrightarrow~&(M-\{x\})^{cic} \subset M^{cic}\\
\Longleftrightarrow~&(M-\{x\})^{a} \subset M^{a}\\
\Longleftrightarrow~&x \in \overline{M-\{x\}} \Rightarrow x \in M^{a}
\end{align*}

証明終