教科書には次の式が公式として載っています．\[\sum^n_{k=1}ar^{n-1}=\frac{a(1-r^n)}{1-r}\]これは「公式」なのだから覚えるべきなのでしょうか？
結論から言えば，これは覚えるべき式ではありません．次のように考えましょう：
\[\sum\text{の後ろが\(r^{n}\)の形をしている}\]
ことからこれは等比数列の和であることが見て取れます．ここが最大のポイント．
等比数列の和の公式を思い出しましょう．等比数列の和の公式で必要な情報は，初項，公比，項数，の３つの情報でした．それらさえ分かればいい．\(\sum^n_{k=1}ar^{n-1}\)から読み取ってみましょう．
初項は？\(ar^{n-1}\)に\(n=1\)を代入すればよいでしょう．\(ar^{1-1}=ar^{0}=a\)です．
公比は？これは式の形からただちに\(r\)と分かります．
項数は？\(\sum^n_{k=1}\)，すなわち項は\(1\)から\(n\)までありますから\(n\)個です．
したがって，等比数列の和の公式にこれらを代入し，\[\frac{a(1-r^n)}{1-r}\]が得られます．
練習に次の問題をやってみましょう．
\((1)\)
初項は？\(2\cdot 3^k\)に\(k=1\)と代入すればよいでしょう．\(2\cdot 3^1=6\)です．
公比は？式の形から，\(3\)です．
項数は？\(10-6+1=5\)です．
したがって，求める和は\[\frac{6(1-3^5)}{1-3}=\frac{6(3^5-1)}{2}=3^6-3=726\]となります．
\((2)\)
初項は？\(5^{2k-1}\)に\(k=m\)と代入すればよいでしょう．\(5^{2m-1}\)です．
公比は？\(5^{2k-1}=5^{2k}\cdot5^{-1}=\frac{1}{5}25^k\)であることに注意して，\(25\)です．
項数は？\((2n-1)-m+1=2n-m\)です．
したがって，求める和は\[\frac{5^{2m-1}(1-25^{2n-m})}{1-25}=\frac{5^{2m-1}(25^{2n-m}-1)}{24}\]となります．
以上，解答の過程に着目して欲しいのですが「\(\sum ar^{n-1}\)の公式」など必要ありませんし，覚えていても上ような形に添わないため使い物にすらなりません．
一般に，教科書が「公式」だと言っているから必ず覚えてなくてはならない，という訳では決してありません．教科書で「覚えろ」と言わんばかりの記述であっても，それが本当に覚える価値のある式なのか，それとも導出過程さえ押さえればいい式なのか，自分の頭で考え，疑う癖をつけることは数学を学ぶ上では非常に大事です．