投稿者: shotasasaki

数学Ⅱ教科書の「軌跡と領域」における最後に登場する中ボス的な有名問題です．いわゆる「線型計画法」によって解く問題ですね．「領域を描いて～直線がその領域に触れる範囲内で切片が最大・最小のものを答えて～」みたいなやつ．

これを教科書のように絵に頼らず，論理式で記述してみます．

解答

\begin{align*}
&x+yがkという値をとる\\
\Longleftrightarrow~& \exists x \exists y [x+y=k \land x \geq 0 \land y \geq 0 \land 2x+y \leq 8 \land 2x+3y \leq 12]\tag{1}\\
\Longleftrightarrow~& \exists x \exists y[y=k-x \land x \geq 0 \land y \geq 0 \land 2x+y \leq 8 \land 2x+3y \leq 12]\tag{\(\ast\)}\\
\Longleftrightarrow~& \exists x [x \geq 0 \land k-x \geq 0 \land 2x+(k-x) \leq 8 \land 2x+3(k-x) \leq 12\tag{2}]\\
\Longleftrightarrow~& \exists x [x \geq 0 \land k \geq x \land x \leq 8-k \land 3k-12 \leq x]\\
\Longleftrightarrow~& \exists x [(x \geq 0 \land k \geq x \land x \leq 8-k \land 3k-12 \leq x)\land (3k-12<0 \lor 0 \leq 3k-12)]\tag{3}\\
\Longleftrightarrow~& \exists x [(x \geq 0 \land k \geq x \land x \leq 8-k \land 3k-12 \leq x \land 3k-12<0) \\
&\lor (x \geq 0 \land k \geq x \land x \leq 8-k \land 3k-12 \leq x \land 0 \leq 3k-12)]\tag{4}\\
\Longleftrightarrow~& \exists x [x \geq 0 \land k \geq x \land x \leq 8-k \land 3k-12 \leq x \land 3k-12<0] \\
&\lor \exists x[x \geq 0 \land k \geq x \land x \leq 8-k \land 3k-12 \leq x \land 0 \leq 3k-12]\tag{5}\\
\Longleftrightarrow~& \exists x [0 \leq x \leq k \land 3k-12 \leq x \leq 8-k \land 3k-12<0] \\
&\lor \exists x[0 \leq x \leq k \land 3k-12 \leq x \leq 8-k \land 0 \leq 3k-12]\\
\Longleftrightarrow~& (0 \leq k \land 3k-12 \leq 8-k \land 3k-12<0) \\
&\lor (0 \leq k \land 3k-12 \leq 8-k \land 0 \leq 3k-12)\tag{6}\\
\Longleftrightarrow~& (0 \leq k \land k \leq 5 \land k < 4) \lor (0 \leq k \land k \leq 5 \land 4 \leq k)\\
\Longleftrightarrow~& 0 \leq k < 4 \lor 4 \leq k \leq 5\\
\Longleftrightarrow~& 0 \leq k \leq 5
\end{align*}

したがって，最大値\(5\)，最小値\(0\)．

\((1)\)は式の主張そのままなのですが，慣れないとこの言い換えが一番難しいかも知れません．この記事と同じ考え方です．
\((2)\)は存在記号の処理
\((3)\)は恒真条件\(3k-12<0 \lor 0 \leq 3k-12\)の追加
\((4)\)は分配法則
\((5)\)は存在記号の分配
\((6)\)はこちらの記事

…と，この解法はもはや完全に趣味ですね＾＾；大人しく教科書と同じく線型計画法で解いた方が明快でスマートだと思います．しかし，この解法のおもしろポイントは絵に頼らない（数直線はイメージしますが…）で論理を’計算’する感覚で機械的に答えにたどりつく，という点です（以前紹介した軌跡の問題と同じ）．視覚的に解く以外にも，こういった論理だけでゴリゴリ攻める姿勢も身に付けておいても決して無駄にはならないと思います．

ちなみに教科書の解法（線型計画法）は\((\ast)\)の段階で視覚化を考えた，と考えられます．ですからいずれの解法にしても\((1)\)の言い換えは本来教科書レベルであっても必要なものだと思います．例によって「解ければいいや」で覚えて済ましがちですけどね．

極めてよく使う同値変形\[p \rightarrow q \Longleftrightarrow \overline{p}\lor q\]を確認してみましょう．真理値表を書いて調べてみます．実際に紙の上で調べる際の手順を再現してみます（一緒に書いてみてくださいね）．

まず，命題\(p\)と命題\(q\)の真偽の組合せは以下のように\(2\times 2\)通りあります．

次に，\(p \rightarrow q\)について調べたいので，最上行にそれを書きこみましょう．\(\rightarrow\)の定義から，その真理値は以下のように書けます（\(p\)が真で\(q\)が偽であるときのみ，\(p \rightarrow q\)は偽であるのでした）．

次に，調べたい\(\overline{p}\lor q\)を同じく最上行に書き込みます．

いきなり\(\overline{p}\lor q\)の真理値を書き込むのは難しいので，順を追って書き込むことにします．まずは\(\overline{p}\)から．これは簡単ですね．定義により，次のように書き込めます．

次に\(q\)．これはそのまま．

いよいよ\(\overline{p}\lor q\)の真理値．\(\lor\)の定義により，

さて，\(p \rightarrow q\)と\(\overline{p}\lor q\)の真理値をながめてみましょう．真理値が一致しています．すなわちこの二つの命題は同値であることが確認できます．

※ 本来ならば，\(p,~\overline{p},~\overline{p}\lor q\)の真理値はそれぞれ別々の列に書くのが正しい（と思う）のですが，面倒なので上のように略記しています．

この公式を教科書ではどのように説明しているかというと…

\(y=2x^2,~y=2x^2+3\)という具体例を持ち出してこの二者の関係を調べて（表または実際にグラフを描き），そこから\(y=2x^3+3\)のグラフは，\(y=2x^2\)のグラフを\(y\)軸方向に\(3\)だけ平行移動したものである，と結論し，
\[\downarrow\]
\(y=2x^2,~y=2(x-3)^2\)という具体例を持ち出し，表からこの二者の関係を調べて\(y=2(x-3)^3\)のグラフは，\(y=2x^2\)のグラフを\(x\)軸方向に\(3\)だけ平行移動したものである，と結論し，
\[\downarrow\]
そしてこの二つから上の公式を結論しています（詳しくはお手持ちの教科書参照）．

この公式に限らず，高校の教科書は\[\textbf{具体例}\rightarrow\textbf{一般論}\]という書き方をしています．「この場合はこうだよね～，あの場合もこうだよね～，ということは一般にこう言えるよね～」という論法ですね．これで「ああなるほど！」と思えればいいんでしょうけど，なんか騙された気がするひとも少なくないはず．実際，数学を学ぶ姿勢としてはこれだけでは納得できない（しない）方がむしろよいと思います．二，三の例が正しいからとしって他の例も正しいとは限りませんからね．

というわけで証明（※注意 pdfファイルです）

いわゆる「教科書通り」にやるとこういったことを飛ばすことになるんですが，それが「数学を勉強している」ことになるんでしょうか…？もっとも，こういった話はテストに出ない（出せない）わけですからやったところでスコアにはならない．その意味においてはやる意味がない，のかもしれませんが…．でも，天下り的に与えられた解決策をただ覚えるだけではないある意味メタ的な能力を培うことも数学を学ぶ重要な意義のひとつだと思うんですが．まあ，教える側，教わる側共々様々な事情・制約がありますから，難しい問題です．

教科書では，この公式の下で，次のような問題と解答を用意しています．

\(x^2+1=u\)とおくと\(2xdx = du\)

\begin{align*}
\displaystyle \int x \sqrt{x^2+1}dx &= \frac{1}{2}\int \sqrt{x^2+1}\cdot 2x dx\\
\displaystyle &= \frac{1}{2}\int \sqrt{u} du=\cdots\\
\displaystyle &=\frac{1}{3}(x^2+1)\sqrt{x^2+1}+C
\end{align*}

引用元：『高等学校　数学Ⅲ』数研出版

置換してますね．

ところで，\(\int f(u) du\)って\(f(u)\)の原始関数なんだから，上の公式は
\begin{align*}
\displaystyle \int f(g(x))g'(x) dx&=\int f(u) du \quad\text{ただし，}g(x)=u\\
\displaystyle &=F(u) + C\quad\text{ただし，}g(x)=u\\
\displaystyle &=F(g(x)) + C\\
\end{align*}

と変形して，

とも書けますね．というか，これを公式としたほうが良くない…？そうすれば「被積分関数が\(f(g(x))g'(x)\)という形をしていれば，\(f(\quad)\)の原始関数を求めて，その’中身’である\(g(x)\)をそのまま放り込めばいい」という簡単な使い方に変わると思うんですが…．

あと教科書の解説だと全ッ然強調してないのですが，この公式が使えることにそもそもどうやって気付くのか？が実用（受験）上では極めて重要です．たとえこの公式を知識として持っていても気付かなければ使おうという発想に至りませんからね．気付くためのポイントは被積分関数に\(g(x)\)と\(g'(x)\)という二人がいるかどうか？です．この「\(g,~g’\)」が見つかったら，まずこの公式のタイプだと思って間違いないでしょう．そして見つかった\(g(x)\)と\(g'(x)\)のうち，\(g(x)\)を\(X\)などとおいて浮かび上がってくる関数が\(f(X)\)です．そしてその\(f(X)\)の原始関数（の１つ）さえ見つけらればこの積分計算はそれで終わりです．

上の例でやってみましょう．\(x^2+1\)と\(x\)の間にその\(g,~g’\)関係がありそうですね．でも惜しいことに\(x^2+1\)を微分すると\(2x\)です．今あるのは\(x\)だからちょっと違う．まあでも，係数の違いは微調整して\(x=\frac{1}{2}\cdot 2x\)と思っておけばいいでしょう．これで\(g(x)\)が見つかりました．これを\(X\)とおいてその部分を眺めてみましょう．すると\(\sqrt{X}=X^{\frac{1}{2}}\)となります．これが知りたかった\(f(X)\)です．あとはこれの原始関数（の１つ）を求めればいい．\[\frac{1}{\frac{1}{2}+1}X^{\frac{1}{2}+1}=\frac{2}{3}X^{\frac{3}{2}}\]
あとは\(\frac{2}{3}(\quad)^{\frac{3}{2}}\)にもともとあった\(g(x)=x^2+1\)を放り込んで\(\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}(x^2+1)^{\frac{3}{2}}\)．たったこれだけで終了．置換などする必要がない．ちなみに先頭の\(\frac{1}{2}は\)先ほど\(g'(x)\)を\(\frac{1}{2} \cdot 2x\)と微調整しておいてときの\(\frac{1}{2}\)です．以上解答としてまとめると

\begin{align*}
\displaystyle \int x \sqrt{x^2+1}dx &= \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}(x^2+1)^{\frac{3}{2}}+C\\
&= \frac{1}{3}(x^2+1)^{\frac{3}{2}}+C
\end{align*}

ほぼ一行で終わります．「\(f,g,g’\)」タイプにおいてすべきことは\(f(\quad)\)を見つけ出しその原始関数（の１つ）を求めるだけです．教科書のようにダラダラと置換してはいけません．