大学で微分積分学または解析学で最初にぶち当たる関門，\(\epsilon-\delta\)論法（\(\epsilon-N\)論法）．まずこれが理解できず相当ゲンナリするひとは結構多いと思います．自分もそうでした．かつて理解するのに苦労した一学生としてひとことメモしておこうと思います．
理解の第一歩は，そもそもなぜそのような定義が必要なのか？を感じることだと思います．
高校の教科書では数列の極限を，
数列\(\{a_n\}\)において，\(n\)を限りなく大きくするとき，\(a_n\)がある値\(\alpha\)に限りなく近づくならば，\(\{a_n\}\)は\(\alpha\)に収束する，または\(\{a_n\}\)の極限は\(\alpha\)であるといい，\[\lim_{n\rightarrow \infty}a_{n}=\alpha\]と書く．
と定義しています．この定義に従えば，例えば数列\(\{1+\frac{1}{n}\}\)において，\(n\)を限りなく大きくするとき，\(1+\frac{1}{n}\)は\(1\)に限りなく近づいているので，\(\{1+\frac{1}{n}\}\)は\(1\)に収束すると言えて，\[\lim_{n\rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)=1\]と書ける，ということになります．
一見なんの問題もないように見えますし，高校数学の問題を解く上では何の問題もありません．しかし，上の定義はよく考えてみるとかなり怪しい．
例えば，数列\(\{1+\frac{1}{n}\}\)において，\(n\)を限りなく大きくするとき，\(1+\frac{1}{n}\)は（\(1\)そのものにならない以上）\(0\)にだって限りなく近づいている，とも言えるわけで，ならば上の定義に従って\[\lim_{n\rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)=0\]とも書ける，ということになります．例えるならば一関から仙台へ向かってる人は，仙台に到着しない限り，「東京へ向かっている」とも言えてしまう，ということです．
他にも，
\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}a_n=\alpha,~\lim_{n\rightarrow \infty}b_n=\beta\)のとき，\[\lim_{n\rightarrow \infty}(a_n\pm b_n)=\alpha\pm\beta\]とか\[\lim_{n\rightarrow \infty}ka_n=k\lim_{n\rightarrow \infty}a_n\]とか\[\lim_{n\rightarrow \infty}a_nb_n=\alpha\beta,~\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{\alpha}{\beta}\]さらに「はさみうちの原理」などを数学Ⅲの序盤に「極限の性質」として学びましたがいざこれらを証明するとなるとどうすればいいのでしょうか（「原理」と名前がついていますがこれは証明すべき定理です）．
百歩譲ってこれらは「感覚的に明らか」と認めるにしても，例えば\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}x_n=0\)のとき，\[\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{x_1+x_2+x_3+\cdots+x_n}{n}=0\]はどうでしょう．これは感覚的に明らかでもないし，上の定義で証明しようとしても完全にお手上げです．
つまり上の高校教科書の定義は数学の定義としては不十分ということです．このような要請のもと，\(\epsilon-\delta\)論法（今は数列なので\(\epsilon-N\)論法）なる極限の新たな定義が必要になります．