この問題の定石的解法は「共通解を\(\alpha\)とおいて代入して連立せよ」ですが，具体的には何をしているのか，論理式を用いてみてみます。
解答
\begin{align*}
&\exists x
\begin{cases}
x^2+kx+2=0\\
2x^2+kx+1=0
\end{cases}\\
\Longleftrightarrow~&\exists x
\begin{cases}
x^2+kx+2=0 \\
2x^2+kx+1-(x^2+kx+2)=0
\end{cases}&\cdots (1)\\
\Longleftrightarrow~&\exists x
\begin{cases}
x^2+kx+2=0\\
x^2-1=0
\end{cases}\\
\Longleftrightarrow~&\exists x
\begin{cases}
x^2+kx+2=0\\
x=-1 \lor x=1
\end{cases}&\cdots (2)\\
\Longleftrightarrow~&\exists x [x^2+kx+2=0 \land (x=-1 \lor x=1)]&\cdots (3)\\
\Longleftrightarrow~&\exists x [(x^2+kx+2=0 \land x=-1) \lor (x^2+kx+2=0 \land x=1)]&\cdots (4)\\
\Longleftrightarrow~&\exists x (x^2+kx+2=0 \land x=-1) \lor \exists x(x^2+kx+2=0 \land x=1)]&\cdots (5)\\
\Longleftrightarrow~& (-1)^2+k(-1)+2=0 \lor 1^2+k\cdot1+2=0 &\cdots (6)\\
\Longleftrightarrow~&k=3 \lor k=-3\\
\end{align*}
よって\(k=\pm 3\)．
解答終
一般的な解答で感じられる一種の不安感は論理式で記述すれば払拭できると思います。
ただし，ここでは様々な同値変形\((1)\)～\((6)\)を用いています。それぞれの同値変形について，順を追ってみてみると
まず\((1)\)は連立方程式の解法は・・・「文字を減らす方針」？で紹介した同値変形です。
\((2)\)は，この記事でとりあげている同値変形です。
\((3)\)は，連立方程式における\(\{\)は「かつ（\(\land\)）」を表すためです。
\((4)\)は，かつ（\(\land\)），または（\(\lor\)）の分配法則によります。
\((5)\)は，存在記号がまたは（\(\lor\)）に関して分配できることによります。
\((6)\)存在記号\(\exists\)があれば代入することで文字を消去することができます。
（関連：2次方程式の共通解問題（その2））