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外積の分配法則

\[\overrightarrow{a}\times(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})=\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{c}\]

\(\overrightarrow{a}\times(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})=\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{c}\)を証明します。

図のように，空間上に\(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}\)があったとしましょう。

\(\overrightarrow{a}\)の始点を通り，\(\overrightarrow{a}\)に垂直な平面を\(\alpha\)とし，\(\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}\)からその平面\(\alpha\)への正射影ベクトルをそれぞれ\(\overrightarrow{b^{\prime}},\overrightarrow{c^{\prime}}\)とおきます。

このとき，下図のような位置関係があることに注意しておきます。

図を動かしてイメージしてみてください（右クリックを押しながらドラッグすると動きます）。

さて，このとき，\begin{align*}
\overrightarrow{a}\times(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})=&\overrightarrow{a}\times(\overrightarrow{b^{\prime}}+\overrightarrow{c^{\prime}})\tag{1}\\
=&\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b^{\prime}}+\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{c^{\prime}}\tag{2}\\
=&\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{c}\tag{3}
\end{align*}が言えます。順にみていきます。

\((1)\)について：
\(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c},\overrightarrow{b^{\prime}}+\overrightarrow{c^{\prime}}\)は同一平面上にありますから，まず\(\overrightarrow{a}\times(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})\)と\(\overrightarrow{a}\times(\overrightarrow{b^{\prime}}+\overrightarrow{c^{\prime}})\)の向きは同じであることが分かります。そして，\(\overrightarrow{a}\)と\(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\)が作る平行四辺形の面積と，\(\overrightarrow{a}\)と\(\overrightarrow{b^{\prime}}+\overrightarrow{c^{\prime}}\)が作る平行四辺形の面積は等しいので（等積変形），\(\overrightarrow{a}\times(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})\)と\(\overrightarrow{a}\times(\overrightarrow{b^{\prime}}+\overrightarrow{c^{\prime}})\)の大きさも等しい。したがって\[\overrightarrow{a}\times(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})=\overrightarrow{a}\times(\overrightarrow{b^{\prime}}+\overrightarrow{c^{\prime}})\tag{1}\]です。

\((2)\)について：
\(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b^{\prime}},\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{c^{\prime}},\overrightarrow{a}\times(\overrightarrow{b^{\prime}}+\overrightarrow{c^{\prime}})\)の向きはどれも\(\overrightarrow{a}\)を軸に\(90^{\circ}\)回転させた向きになります。そして大きさは（どれも\(\overrightarrow{a}\)と直交していることに注意すれば）それぞれ\(|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b^{\prime}}|,|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{c^{\prime}}|,|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b^{\prime}}+\overrightarrow{c^{\prime}}|\)，すなわちどれも自分の大きさを\(|\overrightarrow{a}|\)倍したものです。

（上の図は見やすさのため\(\overrightarrow{a}\times(\overrightarrow{b^{\prime}}+\overrightarrow{c^{\prime}})\)だけ図示）これを，真上から見たものが下の図がです。

この図から，\[\overrightarrow{a}\times(\overrightarrow{b^{\prime}}+\overrightarrow{c^{\prime}})=\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b^{\prime}}+\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{c^{\prime}}\tag{2}\]であることが分かります。

\((3)\)について：
\(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{b^{\prime}}\)は同一平面上にありますから，まず\(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}\)と\(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b^{\prime}}\)の向きは同じであることが分かります。そして，\(\overrightarrow{a}\)と\(\overrightarrow{b}\)が作る平行四辺形の面積と，\(\overrightarrow{a}\)と\(\overrightarrow{b^{\prime}}\)が作る平行四辺形の面積は等しいので（等積変形），\(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\)と\(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b^{\prime}}\)の大きさも等しい。したがって\[\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b^{\prime}}\tag{3}\]です。

\(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{c^{\prime}}\)も同様です。

以上により証明が完了しました。

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基本ベクトルの外積

同じ基本ベクトル同士の外積は，\(\overrightarrow{0}\)になります．なぜなら，同じベクトルですからその２つのベクトルが作る平行四辺形の面積は０であるから，外積の大きさも０（外積の定義ⅲを参照），したがって\(\overrightarrow{0}\)です．

異なる基本ベクトル同士の外積ならどうでしょうか．たとえば，\(\overrightarrow{e_1}\times\overrightarrow{e_2}\)を考えてみます．

\(\overrightarrow{e_1}\times\overrightarrow{e_2}\)とは，外積の定義ⅰとⅱにより，図１に示す赤いベクトルであるといえます．さらに，\(\overrightarrow{e_1}\)と\(\overrightarrow{e_2}\)が作る平行四辺形は，正方形ですから，その面積は\(1\times1=1\)です．したがって，先ほどの赤いベクトル\(\overrightarrow{e_1}\times\overrightarrow{e_2}\)の大きさは\(1\)である，と言えます（図２参照）．

以上により，\(\overrightarrow{e_1}\times\overrightarrow{e_2}\)は上の図の赤いベクトルで，しかもその大きさは\(1\)であることが分かります．このベクトルはほかならぬ\(\overrightarrow{e_3}\)ですね．同様に考え，\(\overrightarrow{e_1}\times\overrightarrow{e_3}\)や\(\overrightarrow{e_3}\times\overrightarrow{e_2}\)なども導出できます．

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ベクトルの外積

外積を定義します．

外積

    1. \(\overrightarrow{a}\)と\(\overrightarrow{b}\)に対して垂直で，
    2. その向きが，\(\overrightarrow{a}\)から\(\overrightarrow{b}\)へねじを回したときにねじが進む向きと一致し，
    3. その大きさが，\(\overrightarrow{a}\)と\(\overrightarrow{b}\)が作る平行四辺形の面積と一致する

ようなベクトルを「外積(outer product)」と呼び，\[\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\]と表す．

ことにします．上図の赤いベクトルですね．定義しただけでは役に立たないので，実際にこの外積を求めてみましょう．\(\overrightarrow{a}=(a_1,~a_2,~a_3),~\overrightarrow{b}=(b_1,~b_2,~b_3)\)とおくことにします．

まず，\(\overrightarrow{a}\)は基本ベクトル\(\overrightarrow{e_1}=(1,~0,~0),~\overrightarrow{e_2}=(0,~1,~0),~\overrightarrow{e_3}=(0,~0,~1)\)を用いて，
\[
\begin{align*}
\overrightarrow{a}=
&\left(
\begin{array}{c}
a_1\\
a_2\\
a_3
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{c}
a_1\\
0\\
0
\end{array}
\right)
+
\left(
\begin{array}{c}
0\\
a_2\\
0
\end{array}
\right)
+
\left(
\begin{array}{c}
0\\
0\\
a_3
\end{array}
\right)\\
&=a_1\left(
\begin{array}{c}
1\\
0\\
0
\end{array}
\right)
+
a_2\left(
\begin{array}{c}
0\\
1\\
0
\end{array}
\right)
+
a_3\left(
\begin{array}{c}
0\\
0\\
1
\end{array}
\right)\\
&=a_1\overrightarrow{e_1}+a_2\overrightarrow{e_2}+a_3\overrightarrow{e_3}
\end{align*}
\]

と\(e_1,~e_2,~e_3\)の１次結合で表すことができます．同様にして

\[\overrightarrow{b}=b_1\overrightarrow{e_1}+b_2\overrightarrow{e_2}+b_3\overrightarrow{e_3}\]

したがって外積\(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}\)は

\[\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}=(a_1\overrightarrow{e_1}+a_2\overrightarrow{e_2}+a_3\overrightarrow{e_3})\times(b_1\overrightarrow{e_1}+b_2\overrightarrow{e_2}+b_3\overrightarrow{e_3})\]

と書けることになります．これを「計算」してみればよい．しかしここでひとつ問題があります．「\(\times\)」に関する計算法則を，まだ私たちはなにも知りません（普段使っている「掛ける」とは見た目が同じだけで別物です）．したがって，まずこの「\(\times\)」がどのような計算法則を持つのか，調べなくてはなりません．

結論から先に述べますと，

\[
\begin{align*}
&\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}=-\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{a}\tag{A}\\
&k(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})=(k\overrightarrow{a})\times \overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}\times (k\overrightarrow{b})\tag{B}\\
&\overrightarrow{a}\times(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})=\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{c}\tag{C}
\end{align*}
\]

が成り立ちます（\(\mathrm{(A)}\)は定義より明らか．\(\mathrm{(B)}\)，\(\mathrm{(C)}\)）．注意したいのは，１つ目，「交換するとマイナスがつく」ということです．外積という新しい定義を導入したわけですから，当然，これまでの常識（交換法則）が通用するとは限らないわけです．

では，これらの計算法則に従って，計算してみましょう（実際に紙に書いて手を動かしてみることをおすすめします）．

\[
\begin{align*}
&~\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}\\
=&~(a_1\overrightarrow{e_1}+a_2\overrightarrow{e_2}+a_3\overrightarrow{e_3})\times(b_1\overrightarrow{e_1}+b_2\overrightarrow{e_2}+b_3\overrightarrow{e_3})\\
=&~a_1\overrightarrow{e_1}\times b_1\overrightarrow{e_1}+a_1\overrightarrow{e_1}\times b_2\overrightarrow{e_2}+a_1\overrightarrow{e_1}\times b_3\overrightarrow{e_3}\\
&+a_2\overrightarrow{e_2}\times b_1\overrightarrow{e_1}+a_2\overrightarrow{e_2}\times b_2\overrightarrow{e_2}+a_2\overrightarrow{e_2}\times b_3\overrightarrow{e_3}\\
&+a_3\overrightarrow{e_3}\times b_1\overrightarrow{e_1}+a_3\overrightarrow{e_3}\times b_2\overrightarrow{e_2}+a_3\overrightarrow{e_3}\times b_3\overrightarrow{e_3}\\
=&~a_1b_1(\overrightarrow{e_1}\times \overrightarrow{e_1})+a_1b_2(\overrightarrow{e_1}\times \overrightarrow{e_2})+a_1b_3(\overrightarrow{e_1}\times \overrightarrow{e_3})\\
&+a_2b_1(\overrightarrow{e_2}\times \overrightarrow{e_1})+a_2b_2(\overrightarrow{e_2}\times \overrightarrow{e_2})+a_2b_3(\overrightarrow{e_2}\times \overrightarrow{e_3})\\
&+a_3b_1(\overrightarrow{e_3}\times \overrightarrow{e_1})+a_3b_2(\overrightarrow{e_3}\times \overrightarrow{e_2})+a_3b_3(\overrightarrow{e_3}\times \overrightarrow{e_3})
\end{align*}
\]

ここで，

\[
\begin{align*}
&\overrightarrow{e_1}\times\overrightarrow{e_1}=\overrightarrow{e_2}\times\overrightarrow{e_2}=\overrightarrow{e_3}\times\overrightarrow{e_3}=\overrightarrow{0} \\
&\overrightarrow{e_1}\times\overrightarrow{e_2}=\overrightarrow{e_3},\quad\overrightarrow{e_1}\times\overrightarrow{e_3}=-\overrightarrow{e_2}\\
&\overrightarrow{e_2}\times\overrightarrow{e_1}=-\overrightarrow{e_3},\quad\overrightarrow{e_2}\times\overrightarrow{e_3}=\overrightarrow{e_1}\\
&\overrightarrow{e_3}\times\overrightarrow{e_1}=\overrightarrow{e_2},\quad\overrightarrow{e_3}\times\overrightarrow{e_2}=-\overrightarrow{e_1}
\end{align*}
\]

ですから（なぜ？），結局外積\(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}\)は
\[
\begin{align*}
\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}
=&~a_1b_1\cdot \overrightarrow{0}+a_1b_2\overrightarrow{e_3} -a_1b_3\overrightarrow{e_2}\\
&-a_2b_1\overrightarrow{e_3}+a_2b_2\cdot \overrightarrow{0}+a_2b_3\overrightarrow{e_1}\\
&+a_3b_1\overrightarrow{e_2}-a_3b_2\overrightarrow{e_1}+a_3b_3\cdot \overrightarrow{0}\\
=&~(a_2b_3-a_3b_2)\overrightarrow{e_1}+(a_3b_1-a_1b_3)\overrightarrow{e_2}+(a_1b_2-a_2b_1)\overrightarrow{e_3}\\
=&~(a_2b_3-a_3b_2)\left(
\begin{array}{c}
1\\
0\\
0
\end{array}
\right)
+
(a_3b_1-a_1b_3)\left(
\begin{array}{c}
0\\
1\\
0
\end{array}
\right)
+
(a_1b_2-a_2b_1)\left(
\begin{array}{c}
0\\
0\\
1
\end{array}
\right)\\
=&~\left(
\begin{array}{c}
a_2b_3-a_3b_2\\
a_3b_1-a_1b_3\\
a_1b_2-a_2b_1\\
\end{array}
\right)
\end{align*}
\]

を得ます．この結果は覚えておくとよいでしょう．以下のように覚えるのがおすすめです．

\[\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}=\left(
\begin{array}{c}
a_2b_3-a_3b_2\\
a_3b_1-a_1b_3\\
a_1b_2-a_2b_1\\
\end{array}
\right)\]

内積（inner product）と言葉自体は似ているのですが，内積はスカラー量であるのに対して，外積はベクトル量であることに注意してください．

注意
高校数学においても垂直なベクトルを求めるシーンは多いのですが，高校範囲外なので，テストや模試等では検算にとどめておくのが無難かも知れません．

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